空间模型

An available state space model for modeling long sequences

Paper: Efficiently Modeling Long Sequences with Structured State Spaces

Motivation and current problem

• A central problem in sequence modeling is efficiently handling data that contains long-range dependencies (LRDs). 一般要求上万步(16k)，现在能做到几千步就不错了。

• 用special matrix（HIPPO）武装起来的latent space model本来具有长时间记忆的能力，但在计算上不可行：O(N 2L) operations and O(N L) space。 尽管依据经典linear algebra的降维算法被提出了，但是在数值上不稳定：A的条件数比较大。

• 希望有一个general-purpose sequence model: 现在的model总是针对一个particular domain(images, audio,text, time-series),处理一个narrow range of problems ( efficient training，fast generation, handling irregularly sampled data).这种现状的原因是这些模型想要高效，就需要domain-specific preprocessing，inductive biases, and architectures.

Contribution

1. S4解决了SSM模型过往的computational neck;在speed和memory overhead 上都达到了efficient transformer的水平；

2. 在LRD任务上成为SOTA，特别地，第一次解决了长达16k，涉及到图像空间推理的Path-X问题；

3. 除了LRD任务，S4具备成为general-purpose sequence model的潜力：

具有efficient training, fast generation, handling irregularly sampled data（比如说调整speech的采样频率）的多种功能

在不调整结构的情况下，能handle diverse domains:surpasses Speech CNNs on speech classification, outperforms the specialized Informer model on time-series forecasting problems, and matches a 2-D ResNet on sequential CIFAR with over 90% accuracy.

Preliminary

1.SSM Model

The state space model is defined by the sinple equation (1). lt maps a 1-D input signal u(t) to an H-D latent state x(t) before projecting to a 1-D output signal y(t).

x'(t)＝Ax(t)＋Bu(t)

y(t)＝Cx(t)＋Du(t)

2.Hippo非常重要！！！

3.Discretization

To discretize the continuous-time SSM，we follow prior work in using the bilinear method [43]，which converts the state matrix A into an approximation ˉA. The discrete SSM is

xₖ＝ˉAxₖ₋₁＋ˉBuₖ ˉA＝(l – Δ/2 · A)⁻¹ (l＋Δ/2 · A)

yₖ＝ˉCxₖ ˉB＝(l – Δ/2 · A)⁻¹ΔB ˉC＝C.

Solution：

• 把Hippo matrix A 分解成normal matrix+ low-rank

• 序列模型并行可以转化为一个卷积运算，但卷积核需要处理一个连乘。如果A diagonal，那一切好说；但他现在不是，所以转化成为Normal Plus Low-Rank。处理NPLR的幂需要用到三个技巧

• 用cauchy kernel来处理对角阵求逆的问题；

• 用Woodbury identity把NPLR变成对角阵的问题；

• 计算截断的generating function，再用inverse FFT变回来。

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