希尔伯特的计划（一）
在20世纪20年代初，德国数学家大卫希尔伯特（1862-1943）提出了一项新的建议，以获得古典数学的基础，这已被称为希尔伯特的计划。 它要求以公理形式的所有数学形式进行正式化，以及证明这种数学的公务化是一致的。 一致性证明本身仅使用令人叫“合理”方法的贝尔伯特进行。 然后，有限原理的特殊认识论产生古典数学的要求。 虽然希尔伯特仅在1921年提出了他的计划，但在1921年，它的各个方面都植根于1900年大约在1900年左右的基础上，当时他首先指出了提供了直接一致性分析的必要性。 该方案的工作在20世纪20年代的逻辑学家（如Paul Bernays），Wilhelm Ackermann，John Von Neumann和Jacques Herbrand等贡献。 这对KurtGödel来说也是一个很大的影响，其在不完整定理的工作受到Hilbert的计划的工作。 Gödel的工作通常被认为表明希尔伯特的计划无法进行。 然而，它仍然在数学哲学中继续成为一种有影响力的地位，并且从20世纪30年代的格拉德格雷格的工作开始，就所谓的被称为依赖的希尔伯特计划的工作是证明理论的发展的核心。
1.希尔伯特计划的历史发展
1.1关于基础的早期工作
1.2王子翅石数学的影响
1.3精度和追求一致性证据
1.4哥特的不完整定理的影响
2.合同的观点
2.1有限对象和精神记忆学
2.2有限地有意义的主张和合理推理
2.3合理行动和合理证据
3.形式主义，减少主义和工具主义
4.希尔伯特的计划和哥德尔的不完整定理
5.修订了希尔伯特计划
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.希尔伯特计划的历史发展
1.1关于基础的早期工作
希尔伯特关于数学基础的工作在他的工作中有1890年代的几何，最终在他的几何教科书基础（1899）（见19世纪几何）。 希尔伯特认为，制定任何科学主题的适当方式严格需要一个公理方法。 在提供公理治疗方面，该理论将独立于任何对直觉的需要开发，并且它将有助于分析基本概念与公理之间的逻辑关系。 对于希尔伯特，对独立性的调查以及公理的一致性对公理治疗具有基本重要性。 对于几何形状的公理，通过在真实平面中提供系统的解释，可以证明一致性，因此，几何形状的一致性降低到分析的一致性。 当然，分析的基础本身就需要公理化和一致性证据。 希尔伯特在（1900b）中提供了这样的公理化，但它变得清晰，分析的一致性面临着显着困难，特别是因为为Dedekind在Dedekind的工作中提供分析基础的有利方式依赖于类似的假设那些导致集合理论的悖论和罗素的悖论悖论的人在弗雷格的算术基础上。
因此，Hilbert认为，需要直接的一致性分析，即，一个不基于减少到另一个理论。 他提出了在1900（1900A）的国际大学生的地址中找到了这一证据，作为他的23个数学问题的第二个数学问题的问题，并在他的海德堡谈话（1905年）中提出了这样一个证据的草图。 几个因素延误了希尔伯特的基础计划的进一步发展。 一个人可能是对普内华（1906年）的批评，以反对他在希尔伯特速写一致性证明的诱导诱导的热情使用（见Steiner 1975，附录）。 希尔伯特还意识到公理调查需要一个良好的逻辑形式主义。 当时，他根据代数传统依赖于逻辑的概念，特别是Schröder的工作，这并不特别适合作为数学的公理化的形式主义。 （参见哈伯特计划的早期发展的Peckhaus 1990。）
1.2王子翅石数学的影响
Russell和Whitehead的Principia Mathematica的出版为对基础问题的重新攻击提供了所需的逻辑基础。 从1914年开始，希尔伯特的学生Heinrich Behmann和其他人都研究了Principia的系统（见Mancosu 1999年在希尔伯特学校的角色）。 希尔伯特本人于1917年回到了基础问题。1917年9月，他向瑞士数学社会提供了一个题为“公理思想”（1918A）的地址。 这是他自1905年以来对数学基础的第一个公布的贡献。在它中，他再次强调了公理系统的一致性证明的要求：“公理理论的主要要求必须更远，而不是仅仅避免已知的悖论]，即，为了表明，在基于底层公理系统的知识矛盾的每个领域中绝对不可能。” 他将算术（和集合理论）一致性的证明作为主要打开问题。 在这两种情况下，似乎没有任何基础可用，而不是逻辑本身的一致性可以减少。 然后，谢伯特认为，罗素在普瑞亚的工作已经解决了这个问题。 尽管如此，公理学的其他基本问题仍然是未解决的，包括“每种数学问题的可辨，”的问题，也追溯到希尔伯特的1900个地址。
这些公正物的尚未解决的问题问题LED HILBERT在接下来的几年里致力于在逻辑上工作。 1917年，保罗·伯尔尼加入了他作为他在哥廷根的助手。 在1917-1921的一系列课程中，希尔伯特在伯尔德和Behmann的协助下，对正式逻辑作出了重大新贡献。 特别是1917年（希尔伯特，1918B）的课程，特别是一阶逻辑的复杂开发，并形成了希尔伯特和阿克曼的基础理论逻辑的基础（1928年）（见ewald和Sieg 2013，Sieg 1999和Zach 1999,2003）。
1.3精度和追求一致性证据
然而，在未来几年内，希尔伯特将拒绝Russell的逻辑决定解决算术的一致性问题。 与此同时，Brouwer的直觉数学获得了货币。 特别是，希尔伯特的前学生赫尔曼韦尔韦斯转化为直觉。 Weyl的论文“数学新的基础危机”（1921年）在1921年夏季在汉堡（1922年）的三次谈判中得到了三次谈判的回答。 在这里，希尔伯特提出了他自己的建议，了解数学基础问题。 该提案于1904年的思考，关于直接一致性证明，他的公理系统的概念以及数学在罗素的工作中的技术发展以及他和他和他进行的进一步发展的技术发展。合作者。 什么是新的，贝尔伯特希望以回答布鲁沃尔和Weyl的批评所需的哲学意义灌注他的一致性项目：有关的观点。
根据希尔伯特的说法，有一个特权的数学，内容小学数字理论，只依赖于“具体迹象的纯粹直观” 虽然与抽象概念的运作被认为是“不足和不确定”，有一个领域
额外的离散物体，在所有思想之前直接存在。 如果逻辑推断是确定的，那么这些对象必须能够在所有部分中完全调查，他们的演示，它们的差异，它们的连续（如对象本身）必须立即直接，直观地存在于我们不能减少到其他东西的东西。 （希尔伯特1922b，202;该段落几乎在希尔伯特1926,376，376，希尔伯特1928,464和希尔伯特1931b，267中重复了逐字逐字
对于希尔伯特来说，这些物体是迹象。 内容性数字理论的领域包括在各种数字中，即行程序列。 这些没有任何意义，即，它们没有代表抽象对象，但它们可以在（例如，连接）上进行操作并比较。 知识他们的性质和关系是直观的，通过逻辑推断无意识。 根据希尔伯特的说法，这种方式开发的内容数字理论是安全的：不仅仅是因为在内容数字理论的命题中没有逻辑结构而无法产生矛盾。
具有迹象的直观内容操作构成了希尔伯特的元化学的基础。 正如内容数字理论与笔划序列一起运行一样，因此元素测量术用符号序列（公式，证明）。 可以在语法上操纵公式和证据，并且公式和证据的性质和关系类似地基于无逻辑直观的能力，保证了对如此句法操作到达的公式和证据的知识确定性。 然而，数学本身与抽象概念，例如量词，集合，功能以及基于数学归纳等原则使用逻辑推断，或者使用诸如被排除的中间的原理。 这些“概念形成”和推理方式受到了布鲁沃和其他人的批评，因为他们将其预先假定给予的无限总值，或者他们涉及非法性定义（批评者被认为是幽默的通函。 希尔伯特的目标是为他们的使用证明。 为此，他指出，它们可以在公理系统中正式（例如普林岛或Hilbert Homenself的那些），以及根据严格的原理地转变为公式和从公理的公式和推导终止的衍生规则。 数学，所以希尔伯特，“成为可提供公式的库存。” 通过这种方式，数学证明符合元素，内容调查。 然后，希尔伯特的计划的目标是提供一种内容的元素证明，即可以没有矛盾，即公式A和其否定的正式推导。
该计划目的草图被贝尔伯特和他的合作者在下面的10年里完成了肉体。 在概念方面，Hilbert（1928年）详细阐述了有限的角度和一致性证据的战略; 希尔伯特（1923年）; 希尔伯特（1926年）和伯尼（1928B）; 伯尼（1922）; 伯尼（1930年），其中希尔伯特文章“在无限”（1926）中提供了对该合理立场的最详细阐述。 除了希尔伯特和伯尼，还有许多其他人参与了该计划的技术工作。 在Göttingen（希尔伯特和伯尼，1923年的讲座）中，希尔伯特和亚伯国开发了ε-微积分作为算术和分析的公理系统的最终形式。 希尔伯特还介绍了他使用他所谓的ε替代方法给出一致性证据的方法。 Ackermann（1924）试图将希尔伯特的想法扩展到分析系统。 然而，证据是错误的（见Zach 2003）。 然后，John Von Neumann，然后访问了Göttingen，为1925年的ε形式主义系统（然而，在1927年发布）的ε形式主义系统（然而，该系统）对ε形式主义的系统进行了纠正的一致性证据。 在Von Neumann的工作中，Ackermann设计了一个新的ε - 替代程序，他传达给伯尼（参见伯尼亚1928B）。 在1928年（1929年）在博洛尼亚博洛尼亚的数学家国际大会上的“数学的基础”的地址中（1929年），希尔伯特乐观地声称Ackermann和冯Neumann的工作建立了数字理论的一致性和分析证明已经被Ackermann进行了“唯一剩下的任务在纯粹算术的基本精神定理证明的情况下进行的。”
1.4哥特的不完整定理的影响
哥德尔的不完整定理表明，希尔伯特的乐观情绪不适当。 1930年9月，KurtGödel在Königsberg的会议上宣布了他的第一个不完整的定理。 在观众中，冯·诺伊曼立即认识到哥尔伯特的计划的结果意义。 在会议后不久，他写信给哥德尔，告诉他他已经找到了哥德尔的结果。 哥德尔已经发现了相同的结果已经独立：第二个不完整的定理，断言原则性的系统不证明普林尼亚体系是一致的索赔的形式化（必要是）。 然而，所有合理推理的方法都被认为是在普林西比亚的可编程中的一致性证据。 因此，如果普林脂的一致性被Ackermann的证据中使用的方法可提供，则应该可以将该证明正式化在普瑞基亚; 但这就是第二个不完整性定理状态的国家是不可能的。 伯尼斯还在1931年1月研究哥特尔纸后立即意识到哥特尔的结果，写给哥特尔（Bödel）（在普鲁赛岛正式正式化的假设下）不完整定理表明a初名的有限份度证明是不可能的。 此后不久，冯Neumann表明Ackermann的一致性证明是有缺陷的，并为建议的ε替代程序提供了一个反例（参见Zach 2003）。
在（1936年）中，Gentzen发表了一致性的一阶PEANO算术（PA）。 正如哥德尔所示所需的那样，Gentzen的证据使用方法可以在Pa本身中形成，即沿着序号ε0的Transfinite感应。 Gentzen的工作标志着毕业后的职位追求理论的开始和依赖于依赖希尔伯特计划。 校正理论在绅士的传统中，根据具体观点的延伸是必要的，以证明它们的一致性是必要的。 通常，系统的一致性强度由系统的证据理论顺序测量，即序数经翅片诱导，其足以证明一致性。 在PA的情况下，该序数是ε0。 （有关进一步讨论，请参阅证明理论的条目和证明理论的发展。）
2.合同的观点
希尔伯特的数学哲学的基石，以及他从1922B的基本思想的基本新的方面，他称之为他所谓的合理立场。 这种方法的角度在于限制数学思想，这些物体“直观地存在于所有思想之前直接存在”，以及这些对象的操作和方法以及不需要引入抽象概念的操作，特别是没有吸引到完整的无限的情况完整性。
了解希尔伯特的合理立场有几个基本和相互关联的问题：
有关合理推理的对象是什么？
有限的有意义的主张是什么？
建筑和推理的有限可接受的方法是什么？
2.1有限对象和精神记忆学
希尔伯特在一个众所周知的段落中表征了有限段落的领域，这些段落在20世纪20年代（1931B; 1922B; 1928; 1928年1928年）中的所有哲学论文中大致相同的哲学论文
[A]使用逻辑推论的条件和逻辑运营的表现，必须已经向我们的代表性提供了某些信息，这是一定的巨大混凝土对象，这些对象直观地在所有思想之前作为立即存在的经验。 如果逻辑推断是可靠的，则必须在所有部分中完全调查这些物体，以及它们发生的事实，它们彼此不同，并且它们互相遵守，或者被连接，立即直观地与物体直观地给出，作为既不能够减少到其他任何内容也不需要减少。 这是我认为数学的基本哲学立场，一般地为所有科学思维，理解和沟通。 （希尔伯特，1926,376）
这些对象是希尔伯特的标志。 对于内容数字理论的领域，有问题的迹象是诸如的数字
1,11,111,1111
难以回答何处理解数字的究竟是如何理解的问题。 它们不是物体物体（例如纸上的实际笔划），因为它必须始终可以通过添加另一个中风来扩展数字（并且，因为希尔伯特也争辩在“Infinite”（1926）中争论，因此物理宇宙是值得怀疑的无限的）。 根据希尔伯特（1922B，202），它们的“形状通常可以通过我们 - 独立于空间和时间肯定地识别，该标志的生产特殊条件以及成品的微不足道的差异。” 它们不是精神结构，因为他们的性质是客观的，但他们的存在取决于他们直观的建筑（参见伯尼亚1923,226）。 无论如何，他们在逻辑上是原始的，即，它们既不是概念（弗雷格的数字）也不是集。 这里重要的是主要是它们的形而上学状态（摘要与这些术语的当前感觉中的混凝土），但它们不会进入逻辑关系，例如，他们不能追求任何东西。 在伯尼耶的最成熟的精神主义演示（希尔伯特和伯尼，1939年;伯尼，1930年），精神主义的物体被称为正式物体，这些物体被重复的过程递归地产生; 笔划符号然后是这些正式对象的具体表示。
希尔伯特认为精神主义物体的认识论状态的问题同样困难。 为了执行为无限数学提供安全基础的任务，必须立即获得有限对象。 希尔伯特的哲学背景是广泛的凯蒂安，正如伯尼亚·伯尼亚·斯诺纳·尼尔森·尼尔森哲学学院密切关联。 希尔伯特的精神主义表征通常是指Kantian Intuition，以及作为直观给出的物体的精神主义的物体。 实际上，在康德的认识学中，即时性是一个直观知识的定义特征。 问题是，玩什么样的直觉？ 甘蔗（1998b）确定这方面的转变。 他认为，虽然希尔伯特早期论文所涉及的直觉是一种感知直觉，在后来的着作（例如，伯尼亚1928A）中，它被认为是康西亚意义上的一种纯粹直觉的形式。 然而，在Hilbert（1928,469）大致相同的时间内仍然识别在戏剧中的一种直觉。 在（1931B，266-267）中，除了纯粹的直觉（例如，空间）和理性之外，希尔伯特将有限的思想视为先验知识的单独源，声称他已经“认识并表现了第三个知识来源伴随着经验和逻辑。” 伯晋和希尔伯特均以广泛的康德术语（不提供超级扣除），使合约推理作为这种推理，并确实是科学，思维，思维，思维，思维，思想，而且，无论如何都要提供超然扣除的合理知识哪种这种想法是不可能的。 （参见Kitcher 1976和1998年关于Peritism的认识论，Patton 2014，用于希尔伯特的迹象理论和杰德尔（即将到来）的历史和哲学背景，特别是与德国哲学家的随后辩论aloysmüller。）
2.2有限地有意义的主张和合理推理
关于有关合理标号的最基本判断是关于平等和不等式的基本判断。 此外，有限的立场允许在有关物体上的操作。 这里最基本的是倾斜。 数字11和111的串联被传送为“2 + 3”，并且11与111连接的陈述导致与111相同的标号，如111乘“2 + 3 = 3 + 2” 在实际证明理论实践中，以及明确的（希尔伯特和伯尼，1934年;伯尼，1930），这些基本操作是通过递归，划视图，原始递归而定义的操作，例如，乘法和指数（参见秘密困难与指数和2007年的哲学困难进行了扩展讨论直观的数学和精神动症）。 同样，合成的判断可能不仅涉及平等或不等式，而且还涉及基本可判定的属性，例如“是素数” 这是有限的，只要这种属性的特征函数本身是合法的：例如，如果它是主要的，则将数字转换为1的操作，否则可以通过原始递归来定义并因此定制。 这种有关命题可以通过连续，分离，否定的通常逻辑操作组合，但也是有界量化的。 （希尔伯特，1926年）给出了“在P + 1和P！+1”之间的命题的主张的例子，其中P是一定的大型素数。 该陈述是有限的，因为它“仅用于缩写命题”，所以p + 1或p + 2或p + 3或...或p！+1是素数。
