希尔伯特的计划（二）
有问题的合法命题是表示任何给定标记N，1 + N = N + 1的数字的总事实的那些。 这是有问题的，因为，因为希尔伯特把它所说，它“来自无法否定的精神观点”（1926,378）。 由此，他意味着存在有一个数字n的矛盾命题，其中1 + n + 1不受限制地有限意义。 “一个人不能毕竟，尝试所有数字”（1928,470）。 出于同样的原因，有关一般主张不应被理解为无限的结合，但“只有作为假设判断，即在给出数字时要断言某些东西”（同上）。 即使在这种意义上是有问题的，即使是赫伯特证明理论的一般致辞特别重要，因为正式系统S的一致性声明是这样的一般形式：对于任何给定的公式P序列，P不是矛盾的衍生S.
2.3合理行动和合理证据
对对精神主义和希尔伯特证明理论的理解至关重要是关于哪些运作以及优惠主义的角度应该允许的证据原则问题。 一般答案是必要的，从希尔伯特证明理论的需求中可以清楚地看出，即，鉴于正式数学系统（甚至是单一序列的公式），可以“看到”这是一致的（或者它不能成为一个正常推导不一致）我们可以看到的方式，例如，11 + 111 = 111 + 11。 一致性证据所需的是一种操作，它给出了正式推导，将这种推导转换为特殊形式之一，以及操作实际上的证据是这样做，并且特殊类型的证明不能是不一致的证明。 要算作综合一致性证明，操作本身必须从精神派观点接受，所需的证据必须仅限于有限的可接受的原则。
Hilbert从未掌握过哪个操作和证据方法是可以从精神派观点接受的，而是仅仅是他被接受为合法性的有关综合数字理论的操作和推理方法的例子。 在Hilbert（1922B）中明确的假设，一般性的合理陈述中接受了内容归纳。 他（1923,1139）表示，直观的思想“包括1928年示例中的递归和有限的现有总体的递归和直观诱导”。伯尼（1930）解释了指数如何被理解为一项合同在数字上操作。 希尔伯特和伯尼（1934年）唯一一般陈述有限的内容数字理论; 根据它，通过使用诱导的原始递归和证据定义的操作是有限的。 所有这些方法都可以在称为原始递归算术（PRA）的系统中正式化，这允许通过原始递归和无量子的公式（同上）对功能的定义（同上）。 然而，希尔伯特和伯尼斯曾经有没有声称只有原始递归操作计数为合法，他们实际上已经在1923年已经使用了一些非原始的递归方法，以1923年已经过硬的有限一致性证明（参见泰铢和Zach 2003）。
更有趣的概念问题是哪些操作应该被视为合法。 由于希尔伯特比完全清楚的是，在合理的角度在于，在建立限制，认识论且否则的情况下，有一些余地，对精神审查操作和证据的分析必须履行。 希尔伯特以上文为特征（见上文）单数理论的对象作为“直观地给出”作为“在所有部分中的可调查”，并表示他们具有基本属性必须“直观地存在”。 伯尼（1922,216）表明，在合理的数学中，只有“原始的直观认知就发挥作用”，并使用了与精神主义1930,250的“直观证据的观点”一词。这一特征是精神主义由于（Parsons，1998）辩称，谁认为，这种理解可以计数的是可以根据这种理解的算法算作的算法，这可能与使用有限递归的加法和乘以定义的算术操作来争辩。 特别是，根据他，指数和一般原始递归没有有限可接受。
本论文与原始递归推理的精致性吻合（Tait 1981;另见2002年，2005b，2019），得到了强有力的防御。 与帕森特相比，扦插拒绝了直觉中的可爱性的方面，作为该合法的标志; 相反，他采取了合理的推理是“所有非琐碎的数学推理的最小推理。” 并分析了合理的操作和证据方法，作为在数量的非常概念中隐含的那些作为有限序列的形式。 希尔伯特的争论支持这一对精神主义的分析是逻辑和数学的预处理，实际上是任何科学思维（1931b，267）。 由于有关各种非琐碎的原因，因此有关数学的一部分，因此，在笛卡尔的意义上是，“嵌合”，以及这种吲哚代理，这是各种各样的，所以有限公司提供数学的认识论接地为Hilbert为此。
Kreisel（1960年）提出了另一个有关合理证据的有趣分析，但是没有提供详细的哲学理由。 它产生了结果，即这些功能是有限的，可以在一阶算术PA中被证明是总计。 它基于反射原则的证明理论概念; 有关分析的分析，请参阅Zach（2006）和Dean（2015）。 Kreisel（1970年，第3.5节）通过专注于“可视化”，提供了另一种分析 结果是相同的：综合保证结果在PA中具有可加工的延迟。
Tait的技术分析产生了优化的功能正是基于原始递归的功能，并且精致性的数字 - 理论真理正是在原始递归算术PRA理论中可提供的。 重要的是强调这种分析不是从精算主义观点本身进行的。 由于“功能”和“证明”的一般概念并非自己是有关的，因此优惠派无法理解捷豹的论点，即PRA中的一切都是有机的。 根据Tait，对有限性可证明的适当分析不得认为精神主义本身可以访问此类非限性概念。 Kreisel的方法和对依赖反思原则或ω-rules的替代的批评运行了这一要求的原因（参见捷径2005年）。 另一方面，人们可以争辩说，PRA太强大了一个理论，以算作“所有非微不足道的数学推理大约有关数字的数学推出所预期”的形式化：与较小的函数相关的较弱但非琐碎的理论原始递归，例如pv和ea，与多项式时间和kalmar - 基本功能相关（请参阅Avigad 2003，以便在EA中进行多少数学）。 使用与Tait相同的线条的分析，GANEA（2010）已到达相应的Kalmar - 基本功能，因为这是一个是有限的。 另见Incurvati（2019）以进一步分析不同的精神主义概念。
3.形式主义，减少主义和工具主义
Weyl（1925）是对1922年和1923年的Hilbert提案的调情，尽管如此，这仍然包含一些重要的批评。 Weyl将希尔伯特的项目描述为通过无意义的公式游戏更换内容数学。 他指出，希尔伯特希望“确保不是真理，而是分析的一致性”，并建议批评弗雷格早期回声的批评：为什么要采取正式数学制度的一致性，作为相信前正式数学真理的理由它编织了吗？ 希尔伯特是毫无意义的公式库存，不仅仅是“分析的无力幽灵”？ Weyl建议解决方案：
[i] F数学是仍然是一个严肃的文化关注，那么有些感觉必须附加到希尔伯特的公式游戏中，我只看到了一种归因于它（包括其Transfinite组件）的一个独立智力意义。 在理论物理学中，我们在我们面前的伟大示例是一种完全不同角色的知识的伟大举例，而不是纯粹表达直觉中给出的东西的常见或现象知识。 虽然在这种情况下，每次判断都有自己的意义，即在直觉内完全可实现，但这绝不是理论物理陈述的情况。 在这种情况下，它是一个与其有关的整体，如果面对经验。 （Weyl，1925,140）
与物理学的比喻正在引人注目，并且可以在希尔伯特自己的写作中找到类似的想法 - 也许希尔伯特受到威尔的影响。 虽然希尔伯特的第一个专门专注于一致性的建议，但希尔伯特在一般未经削减主义项目方向上有一个明显的发展，这是当时的科学哲学的一般融合主义项目（如此）1983年吉亚奎托。 在20世纪20年代的下半年，希尔伯特用保守计划取代了一致性计划：通过类比与理论物理学来考虑正式的数学。 理论部分的终极理由在于“真实”数学的保守性：每当理论上，“理想”数学证明“真正的”命题，这个命题也直观地是正确的。 这证明了使用Transfinite Mathematics：它不仅是在内部一致的，而且证明了真正的直观命题（并且实际上是所有的，因为直观数学的正规化是所有数学的正式化的一部分）。
1926年，希尔伯特介绍了实际和理想的公式之间的区别。 这种区别于1922年，仅在1923年暗示。在后者，希尔伯特首先介绍了一个免费的无量词数字理论系统，他说“我们以这种方式获得的可提供的公式都拥有有限的特征”（1139）。 然后添加过细金属结构（即量子）以简化和完成理论（1144）。 在这里，他首次利用了理想元素的方法的类比：“在我的证明理论中，经菲尼石和公式相邻于有限的公理，就像在复杂变量的理论中，虚数元素相邻于真实，并且正如几何形状一样，理想的结构相邻为实际”（同上）。 当希尔伯特在1926年明确介绍了理想命题的概念，1928年，当他首次讲述真正的命题之外的理想外，他很明显，该理论的真正部分仅包括可辨可变的可变公式。 它们应该是“直接能够进行验证” - 以源自实验检查的自然定律的命题（1928,475）。 该计划的新图片是：经典数学将在一个系统中正式化，其中包括所有直接可验证的（按计算）主张的形式化的内容有限数字理论。 一致性证明应显示通过理想方法可以证明的所有实际命题是真的，即，可以通过有限计算直接验证。 （诸如ε-替代的实际证明一直是这样的：提供从实际陈述的证据中消除的单细胞，特别是0 = 1。）确实，希尔伯特认为，更强大的是真实的：不仅是一致性的证明通过理想方法证明了实际公式的真实性，但如果通过理想方法（1928,474）衍生出相应的游离可变公式，它会产生合成的合成公式的合同证据。
除了保守性之外，希尔伯特还提出了对理论的进一步限制：简单，证据简洁，“思想经济”和数学生产力。 Transfinite Logic的正式系统不是任意：“此公式游戏是根据某些明确的规则进行的，其中表达了我们思维的技术。 [...]我证据理论的基本思想是描述我们理解的活动，根据我们认为实际收益的规则进行议定书“（希尔伯特1928,475）。 当Weyl（1928）最终从直觉中转过来时，他强调了希尔伯特证明理论的动机：不要将数学变成一个无意义的符号游戏，而是将其转化为一个构成科学（数学）练习（见Mancosu和Ryckman 2002和Kish Bar-On 2021对Weyl的直觉和Hilbert的形式主义）。
希尔伯特的形式主义是非常复杂的：它避免了两个关键反对意见：（1）如果该系统的公式毫无意义，系统中的衍生能力如何产生任何形式的信念？ （2）为什么接受PA的系统而不是任何其他一致的系统？ 两种反对意见都是熟悉的; 这两个问题都是（部分）由实际陈述的保守证明回答。 此外，对于（2），希尔伯特具有自然主义的认可标准：我们通过考虑到简单，繁殖力，均匀性以及数学家实际做些的考虑来限制系统的选择; Weyl将补充说，理论的最终试验将是其物理学的有用性。
大多数数学哲学家在希尔伯特读到他作为一个乐器主义者（包括Kitcher 1976，Resnik 1980，Giaquinto 1983，Sieg 1990，特别是Detlefsen 1986），因为他们阅读了希尔伯特的解释说，理想的命题“本身没有任何意义”（希尔伯特，1926,381）声称古典数学是仅仅是一个仪器，而Transfinite数学的陈述没有真理价值。 在这方面，这是准确的，它必须被理解为一种方法论工具主义：成功执行证明理论计划将表明人们可以假装数学毫无意义。 因此，与物理学的类比没有：Transfinite命题没有意义，因为涉及理论术语的命题没有意义，但是：Transfinite命题要求没有直接直观的意义，因为一个不必直接看电子以理解它们。 Hallett（1990），考虑到19世纪的数学背景，希尔伯特来自希尔伯特整个职业的出版和未发表的来源（特别是Hilbert 1992，对理想元素方法的最广泛讨论）来到了结论：
[希尔伯特对哲学问题的待遇]并不意味着一种关于存在和真理的乐器主义者主义主义等等。 相反，它意味着对这些问题提供非持怀疑态度和积极的解决方案，该解决方案以认知可访问的术语为单位。 并且，出现，相同的解决方案适用于数学和物理理论。 一旦被接受了新的概念或“理想元素”或新的理论术语，它们存在于任何理论实体存在的意义上。 （Hallett，1990,239）
4.希尔伯特的计划和哥德尔的不完整定理
对希尔伯特的计划的影响，有一些辩论对希尔伯特计划的影响，以及是否是第一个或第二个不完整定理，交付政变。 毫无疑问，最直接参与发展的人的意见相信定理确实具有决定性的影响。 哥德尔于1930年10月出版的摘要中宣布了第二个不完整的定理：普瑞亚，Zermelo-Fraenkel集合理论等系统没有一致性证明，或者可以通过Ackermann和Von Neumann调查的系统可以在这些系统中配制的方法。 在他的纸张的完整版中，哥特尔（1931）留下了开放的可能性，可能在这些系统中不能可编程，并且会产生所需的一致性证据。 伯尼斯于1931年1月到哥德尔的一封信中的第一次反应同样是“如果作为冯·诺伊曼所做的那样，一个人认为任何和每一个有关的审议都可以在系统p-like你的水上形式化，我认为绝不是定居的结论是，P的一致性的合同证明是不可能的”（Gödel，2003A，87）。
Gödel的定理如何影响希尔伯特的计划？ 通过仔细（“Gödel” - ）编码符号序列（公式，证据），Gödel表示，在包含足够量的算术的理论T中，可以产生“说”X是“说”的公式Pr（x，y）（代码）（配方与代码）y的证明。 具体而言，如果⌜0=1⌝是公式0 = 1的代码，则可以将CONT =∀x¬pr-pr（x，ν0=1⌝）“定义”该T是一致的（没有数字是在0中的衍生的代码为0 = 1）。 第二个不完整性定理（G2）表示，在关于T和编码装置的某些假设下，T不证明续。 现在假设T的有限一致性证明。在这种证据中使用的方法可能会在T.（“可编程”意味着，大致，如果证据在推导中将任何导出D转换为导出F的衍生物，则粗略地（d）一种简单的形式;然后有一个公式f（x，y），使得对于所有衍生d，t⊢f（⌜d⌝，⌜f（d）⌝）。）T的一致性将有限地表达为一般假设，如果d是任何给定的符号序列，d不是公式0 = 1的t的导出。 该命题的形式化是公式¬pr（x，ξ0=1⌝），其中变量x自由发生。 如果存在T的一致性，其形式化将产生¬prt（x，χ0=1⌝）的衍生，从中可以通过x上的简单通用概括来衍生。 然而，通过G2排除了续地的推导。
如上所述，最初哥德尔和伯纳德认为，通过使用方法可以克服PA的一致性证明的难度，虽然在PA中不可形成，但仍然是合理的。 根据原始精神主义的原始概念，这些方法是否被认为是合法的，或构成原始优点观点的延伸是辩论的问题。 被认为的新方法包括希尔伯特（1931B; 1931A）提出的Ω规则的合同版本。 然而，它是公平的，但是，在大约1934年之后，几乎普遍接受了在哥德尔的结果之前被接受的证据方法在PA中可操作。 已经提出了原始精神派观点的扩展，并在宽泛的合约场地上辩护，例如，Gentzen（1936）捍卫了在他的一致性证明中使用Transfinite Excuction达到ε0，以便“无可争议的”，Takeuti（1987）给了另一种防守。 Gödel（1958）介绍了精神派观点的另一个延伸; 上述Kreisel的工作可能被视为另一种尝试，以延长精神学，同时保留希尔伯特原始概念的精神。
Detlefsen（1986年; 2001年; 1979年）提出了不同的尝试围绕吉尔伯特计划围绕吉尔伯特的计划的方法。 DetleFsen呈现了几条防御线，其中一个类似于刚才描述的防御：争论ω-规则的版本是有限的，尽管不能正式化（但是，请参阅Ignjatovic 1994）。 Detlefsen对哥德尔的第二次定理的共同解释的其他论点侧重于正式化的概念：哥特式公式纲的“T是一致”的特定形式化并不证明不暗示不可能有其他公式，这是可证明的，它具有尽可能多的权利被称为“T的一致性的形式化” 这些依赖于可保释谓词PRT的不同形式化PRT。 众所周知，只要可证明的谓词遵守某些一般衍生植物条件，正式化的一致性陈述是无法形容的。 DetleFsen认为，这些条件是谓词作为真正可证明谓词的谓词，并且实际上存在违反可加质条件的可证明谓词，并导致在相应的理论中可提供的一致性公式。 然而，这些依赖于希尔伯特可能未接受的可加价的非标准概念（参见Resnik 1974，Auerbach 1992和Steiner 1991）。
Smorynski（1977）争辩说，第一个不完整的定理击败了希尔伯特的计划。 希尔伯特的目的不仅仅表明形式化的数学是一致的，而是以特定的方式这样做，以表明理想的数学永远不会导致不符合真实数学的结论。 因此，为了成功，理想的数学必须在真实的部分中保守：每当正式的理想数学证明真正的公式P，P本身（或表达的合法命题）必须有限地证明。 对于Smorynski，实际公式不仅包括数值等于及其组合，而且还包括具有自由变量的通用公式，但没有无限量词。
现在，Gödel的第一个不完整的定理（G1）指出，对于任何足够强大的，一致的正式理论，有一个句子GS是真实的，但在S. GS是一个真正的句子，这是根据Smorynski的定义。 现在考虑一个理论T，它将理想数学及其子学位形式正式确定真实数学。 S满足G1的条件，因此S不会导出GS。 然而，T，是所有数学的正式化（包括需要看到GS所需的内容），可以推导出GS。 因此，我们有一个真正的陈述，其在理想的数学中可以证明，而不是真正的数学。
Detlefsen（1986年，附录;另见1990年）对希尔伯特的计划进行了防止这种论点。 Detlefsen认为，“希尔伯蒂安”的工具主义通过否认理想的数学必须保守对真实的部分来逃离G1的论点; 所有所需要的都是真实的健康。 希尔伯蒂安的工具主义只需要理想的理论不证明与真实理论相冲突的理想理论; 不要求它只证明了真实理论也证明的实际陈述。
Franks（2009）为希尔伯特项目提供了相关的辩护和重新评估，而麦卡锡（2016年）替代方法是由于Gödel本人而获得一致性和G2的替代方法。 Kripke（即将举行）展示了希尔伯特如何自然地导致Gödelian不完整的一致性证据。 Santos等人。
