希尔伯特的计划（三）

（即将到来），通过Artemov（2020年）在工作中扩展（2020年），认为“部分精致主义”允许与G2兼容的一致性证明，并与希尔伯特自己的特色观点一致。 另请参阅Schirn和Niebergall（2001）和Schirn（2019年）相关的提案。 Zach（2004）为希尔伯特计划中的保守性和一致性提供了历史细节。 参见哥德尔和哥特尔的不完整定理，以及诚（2021年），以进一步讨论Gödel的定理和一致性证据。

5.修订了希尔伯特计划

即使可以给出算术的有限一致性证明，也是值得的问题：这些证明中使用的方法，尽管他们必须超越希尔伯特的原始精神动症，可能会对建设性含量提供真正的洞察力算术和更强的理论。 哥特的结果表明，所有数学都不存在绝对一致性; 因此，在Gödel集中在相对结果上的证明理论中，两者：相对于给出一致性证明的系统，以及相对于所用的证明方法。

在这个意义上的还原证明理论遵循了两个传统：第一个，主要是通过先知和舒斯特举行的校对理论家进行的，追求了一个所谓的序数分析的程序，并被绅士的第一个一致性证明通过诱导ε0.ε0是某个Transfinite（虽然可数）序数，但是，这里使用的意义上的“诱导至ε0”不是真正的Transfinite程序。 序数分析不具有无限序数，而是与序数符号系统，它们本身可以在非常弱（基本上，合理的）系统中正式化。 如果：（a）人可以产生序号符号系统，则给出了系统t的序数分析，其模仿序号小于某个序数αt，使得（b）可以限定地证明诱导原则的形式化Ti（αt）至αt意味着t（即，s⊢ti（αt）→cont）和（c）t所证明的所有β<αt的Ti（β）（s是一个理论形式的综合元素，并且通常是一个T）的弱子理论。 为了具有任何基本意义，还要求一个人可以给予转发诱导至αt的建设性论据。 如上所述，这是由Gentzen和Takeuti进行的ε0，PA的证明理论序列，但变得更加困难，并且逐步可疑的哲学意义对更强的理论。 有关绅士一致性证明的调查，请参阅证明理论的条目。 2021对于可访问的教科书演示，以及Thomas-Bolduc和Tarnell 2022上的Takeuti订购了良好的证据。

Kreisel（1983年）和Feferman（1988年）和Feferman（1988年的Feferman，1993A）提出了哲学上更令人满意的智能理论术语的哲学延续。 这项工作从希尔伯特计划的更广泛的概念中获得，试图通过限制手段证明理想的数学。 在这一概念中，希尔伯特证明理论的目的是表明，至少就某种类别的真正主张而言，理想的数学并没有超越真正的数学。 希尔伯特设想的综合一致性证明会实现这一目标：如果理想的数学证明了一个真正的命题，那么这一命题已经通过真实（即，有关）方法提供。 从某种意义上说，这减少了真实数学的理想数学。 理论T对理论S的证据减少表明，就某些主张而言，如果T证明一个命题，那么S也证明了这一事实证明本身是有关的。 然后可以看到希尔伯特证明理论计划是寻求校对理论减少对各种数学的理论减少; 在一个相对的计划中，一个寻求减少的理论弱于所有古典数学，通常比有合数学更强大。 校对理论家获得了许多这样的结果，包括减少他们脸部的理论需要大量理想的数学，以便他们对合成系统的理由（例如，分析的子系统）。 （Feferman，1993B）已经将这种结果与其他结果相结合，表明，大多数情况下，如果不是全部，如果不是全部，则可以在系统中进行，以便在这些系统中进行可用于争论哲学中的不可缺少的辩论数学。 这种证据理论减少的哲学意义是目前是辩论的主题（Hofweber，2000; Feferman，2000）。

由特别是弗里德曼和辛普森制定的所谓逆向数学的计划是希尔伯特计划的另一个延续。 面对哥德尔的结果表明，并非所有的古典数学都可以减少到这一综合，他们寻求回答这个问题：多数古典数学可以如此减少？ 逆转数学旨在通过调查弱态数学定理在弱的子系统中提供了精确的答案，以便在分析的薄弱子系统中可减少（在前段所讨论的意义上）。 典型的结果是，功能分析的Hahn-Banach定理是可知的，其称为WKL0（用于“弱Königlemma”）; WKL0是π的保守型

0

2

句子（即表单∀x∃ya（x，y）的句子。（参见SIMPSON 1988为技术待遇进行概述和辛普森1999年。）