数学哲学中的形式主义（一）
在数学哲学中对形式主义的一个共同理解将其视为持有数学不是代表现实抽象部门的命题，但更像是对游戏的更像，带来没有更多的承诺对象或物业的本体论通常认为玩Ludo或国际象棋。 这个想法有一些直观的合理性：考虑乘法表或学生使用标准算法来分辨或集成函数的Tyropration表或学生。 它还对应于在某些时期在一段时间内进行高级数学家做法的某些方面 - 例如，Bombelli引入他们后的某个时间的假想数，也许是一些当代数学家对集合理论较高的态度。 最后，哲学上幼稚的受访者往往会朝向数学性质的问题讨论姿态的位置往往。 然而，鉴于最后一个观察，许多数学哲学家认为“游戏形式主义”是绝望的。 本文涉及游戏形式主义，其密切的亲属和随后的发展，其中许多人试图克服粗鲁品种的感知局限性。
1.简介
2.游戏和术语形式主义
3.牵引车形式主义
4.形式主义和实证主义者
5.名义主义形式主义
6.术语形式主义：咖喱
7.咖喱霍华德对应
8.当代形式主义
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.简介
游戏形式主义的轨迹分类并不是一个令人信服的倡导者的辩护，而是一个伟大的哲学家，Gottlob Frege（1903年，Grundgesetze der Arithmetik，第II卷），就真正的工作数学家，包括H. E. Heine（1872）和Johannes Thomae（1898年）。 其部分相关性的是，游戏形式主义等一些数学家仍然被一些数学家捍卫，至少在他们思考哲学不是数学时的休息日。 Heine和Thomae是否实际上是游戏形式主义者对严肃的问题开放，因为我将在下一节中表明。 目前，必须强调的是，这种意义上的“形式主义” - 弗雷格及其后代解释的英雄/托马皮地位 - 应与更复杂的立场（索赔），即希尔伯特形式主义。 有关后者的更多信息，请参阅Detlefsen（1993）或咨询希尔伯特计划和弗雷格·希尔伯特争议的条目。）Detlefsen（2005）还提供了古代思想家中的形式主义主题的详细历史待遇希腊人达到弗雷格和希尔伯特及其超越的时期，这是这里的重点。
虽然是非希尔伯特的方法，但我们将在此条目中关注，但我们简要介绍了希尔伯特的方法。 希尔伯利亚的地位不同，因为它取决于一个有关部门之间数学语言的区别，其句子表达了满足的命题，以及理想或无限的部门。 正好希尔伯特在哪里描绘，或应该在哪里绘制，是辩论的问题。 但很遗憾，希尔伯特对理想部门采取了乐器态度。 这种语言的公式，或被视为未解释，具有句法形式的句子，我们可以应用转型和推理的正式规则，但没有语义。 尽管如此，如果理想的部门保守延伸这一总体，则仍然是有用的，即如果没有通过单一语言绕过绕道而行的合理判处的证据，那就是没有通过无限性的语言产生的结论产生了得出的结论，我们就无法单独使用合理手段，尽管如此（这里的效用）虽然更长，更笨拙的证据。 希尔伯特计划的目标是提供这种保守延期结果的合同证明; 大多数情况下，虽然并非所有人，但认为这一目标被哥特的第二个不完整的定理证明是不可能的。
现在回归我们的非希尔伯特的重点，弗雷遭到袭击的前面的形式主义并没有将数学分为上述两性的单一类别/满足，无限/基本毫无意义但相反，对待数学以统一和均匀的方式。 从现在开始，我将使用“形式主义”，参考非希尔伯利亚职位，并将首先展示形式的观点弗雷思想他在海内和托马恩发现以及他所制作的批评。 现在，这些批评人士现在被广泛认为是遏制游戏形式主义方法的决定性反驳。 但是，有许多后生肖观点，似乎受到形式主义的严重影响或强烈的。 我会依次经历这些：
Wittgenstein对数学的看法，主要是在他的Tractatus Logico-Phorosophicus中找到的概念;
在逻辑实证主义者中发现的形式主义，特别是Carnap;
善意和幽灵的名义主义形式主义;
Haskell咖喱的形式主义版本
咖喱霍华德对应的形式解释。
我将终于看看更新的形式主义哲学家，并对当代数学哲学中的形式主义的前景进行了全面评估。
2.游戏和术语形式主义
弗雷格是一个众所周知的众所周知的不可点征的口译员，当然他变老了。 但近期奖学金（特别是劳伦斯，2023年）表明，在他的形式主义对手等汉克尔，Heine和Thomae之类的情况下，他的解释是特别广泛的标志。 然而，这是弗雷格的身材，他的扭曲对他们的观点的观点已经很大程度上被哲学家在这个作者中，在此进入以前的这个条目中的先前版本。
也许弗赖奇最重要的错误是假设当托马斯谈论数学作为一场比赛的比赛时，弗雷格认为迹象作为具体标记，如“通过书写或印刷在物体身体表面上产生的数字（黑板，纸）”（Frege 1903/1980，§98）[1]。 事实上，托马恩经常使用“符号”来表示表示表示，例如无限的小数作为实数的表示：
无限十进制。 。 。 缩写，用于通常有限小数的无限序列的标志，或分配给这样的序列的标志（Thomae 1898：5）[2]
这些表示是可能无限的 - 实际上不是无限的序列 - 所以肯定不是无限的，也不是不可行的大的具体迹象。 因此Frege的讽刺评论：
为了生产它[无限系列]我们需要一个无限长的黑板，无限的粉笔供应和无限的时间。 我们可能会被认为太残酷，因为试图通过如此温柔的反对来粉碎这么高的精神; 但这没有答案。 （Frege，1903/1980，§124：199）
本身应该值得谴责，因为对无限远的潜在主义理解而言也是无关的。
托马恩的思维也强烈地着色，对威尔特拉斯人的分析而不是riemannian的方法（弗里格，这是另一条路）。 Weierstrass认为，基于Power Series的实际和复杂分析的代数方法：
∞
σ
n = 0
a0 + a1（x-c）+的a2（x-c）的x2 ...一个（x-c）n ...
如果术语AI仅包含代数运算符，例如算术函数，乘法函数，乘法和指数，概念比利莫曼人更严格地利用“超越”非代数运营商。 在Thomae对这些想法的博览会中的一个关键点是，它的运算运算符在算术运营商的运作并不重要，只要它们是什么，他们遵守“游戏”的代数规则。 因此，他对形式主义的理解更接近我们现在所谓的结构主义。 所以，当他说：
现在，对于正式的概念，算术是一个具有迹象的游戏，其中一个人可以呼叫空，从而传送（在计算游戏中）除了在某些组合规则（游戏规则）下的其行为没有归因于它们的内容。 （托马恩，1898,3）。
关键短语是'（在计算游戏中）没有其他内容属于它们'。 Thomae并没有否认这个数字术语，或者可以在引用意义上有'内容'; 它们可以参考 - 例如（Thomae，1898：3）的等式的程度。 但在无限序列的（有限初始段）上执行算术操作时，我们“括起来除了属于运营标志之外的任何内容，就像我们在检查逻辑正确性的逻辑正确性中括起内容 - 自然语言的更加拓展 - 忽略”实数“，”函数“等短语的含义，例如，仅在参数中的句子中查看正式结构。
总而言之，形式主义弗赖特攻击是稻草人的位置。 但它是一个历史上重要的一个，而不仅仅是对Freegean解释，而且因为它是那个哲学家作为建立或盲手避免的起点之一。 对于Frege，任何形式主义的东西都是一个盲目的小巷，因为他需要算术，成为一种由话语表达的真理体，其中数字表达式指定独立于思想（或至少任何特定的个人的思想）。 弗赖吉说，Heine和Thomae谈论了数学域和结构，禁止可能发出的东西（例如，在一些特殊的意义，毫无意义）中，数字大于或小于彼此的数字（而不是物理标记更大或更小，更暗或更较大） - 所有的东西，弗雷格音符，如果算术是标记的理论及其物理性质的理论，或者只是一个较少的符号的变换的身体。 然而，他失败考虑他们可以以这种方式表达自己，因为他们实际上并不是作为处理无意义的混凝土标记的操纵来实现算术。
历史上，两个不同的教科书观点已从Frege的反形式主义批评，Resnik（1980：54），同样地Shapiro（2000：41-48）描述为术语形式主义和游戏形式主义。 术语形式主义观察数学，算法的表达式，例如有意义，单个术语作为参考，而是参考诸如自己的符号，而不是数字，被解释为不同于符号的实体。 然而，游戏形式主义者坚持数学话语没有意义; 或者在任何速率下，其中发生的术语不会挑选对象和属性，并且话语不能用于陈述事实。 相反，数学是根据固定规则改造了“空”符号字符串的微积分。 因此，游戏形式主义对任何人热衷于阻止，避免或以某种方式）对抽象对象的有问题领域的任何本体论承诺的吸引力。 对于标准数学而言，肯定了一个定理肯定了实体的无限领域的存在，职能，集合，态度，类别等，似乎没有具体的实体，实际上似乎很难适应现实的彻底自然主义观念。
游戏形式主义是唯一担心订阅抽象对象的本体主义的唯一游戏。 相比之下，术语形式主义，在解释数学时，符号将其转化为一种句法理论。 然而，标准的句法理论需要存在无限的实体表达类型 - 这似乎每一位作为数字抽象。 实际上，正如Gödel的算法所显示的那样，标准正式语法的元素和相互关系可以在算术标准模型内被建模为无限的子结构。 这一术语形式主义似乎对抗柏拉图师似乎没有用。
当然，正式的语法和证明理论后来成为数学的分支。 弗雷格抱怨着Heine和Thomae不提供语法和证据理论，这是远程充足，作为他们处理的数学的叙述。 这是真的，但由于在数学理论的形式化中引入了迄今为止的严谨标准，因此弗雷格的身材彻底改变了数学。 他认识到（§90：185-6），人们可以处理数学理论，他们的语言，公理和规则，作为他们自己的正式数学对象。 这正是希尔伯特计划成功阐述的是，创造了元素的新门徒。
鉴于这些工具，如何严格的游戏形式主义者，以弗赖克斯的意义，继续？ 她将通过阐述基本元素是原始符号和字符串的基本元素和其字符串来说，给我们表征正式语言 - 然后给出一个递归规格，串计算到弦数。 同样，我们将获得一个严谨的规范，其中良好成分的公式计数为给定系统中的证据，以及它们在每种情况下证明的定理。 如果在系统中提供“3 + 1 = 0”或“3＞2”的字符串（算术模式4，则表示），那么这足以将它们视为系统的正确话语。 不需要进一步发出真理; 我们也不需要假设一组符号只有一个系统。 此外，我们也不需要假设每个这样的系统都是完整的（尽管Frege将Thomae取得了不完整的任务，但虽然他的算术微积分易于彻底地廉规）。 我们不需要假设这些字符串中的数字是指系统外的任何内容，事实上我们根本不需要认为他们是指任何内容。 那么，这种严谨的游戏形式主义不受“3＞2”的反对意见，应该是错误的，就“＞”的任何合法形式的阅读; 无需将数字视为指具体标记和“＞”含义的尺寸更大。）
因此，这样的游戏形式主义者避免了一些反对弗里格举击他对Heine和Thomae的职位。 但是，他仍然有两种主要反对意见，它仍然适用于使用现代元化学工具开发的游戏形式主义。 首先是适用性问题：如果数学只是一种微积分，我们会随之破坏未解释的符号（或其解释是一个重要性问题的符号），为什么它已经如此成功地应用 - 在这么多方面，到这么多不同的东西 - 普通的物理对象，子原子对象，字段，属性，以及数学的一个部分到另一个部分（我们可以计算纯几何空间中的尺寸数）？ 弗雷格写道：
现在，它是一个适用性，它将算术从游戏提升到科学的等级。 （弗雷格§911903/1980：167]）
其次，Frege非常正确地，并不是一方面的“游戏的算术，定组理论，拓扑或任何处理方式，即在自己的权利中，正式的系统，以及另一方面，游戏理论的一个人来说。 “让我们记住游戏理论必须与游戏本身有区别'（§107,183）。 因此，我们可能会导出的三角学“的”游戏“
sin2θ+cos2θ= 1
来自毕达哥兰定理。 在Metatheory中，我们可以证明：
⊢⟨sin2θ+cos2θ=1⟩，
声明，在语法的数学表示中具有这样的公式和这样的代码（这里通过'⟨sin2θ+cos2θ=1⟩'）的元于元理论中表示的代码。 同样在元理论中，我们可以证明许多关于证明和驳斥的许多其他事情，例如我们可能会表明许多句子既不可证明也不是反驳。
这一问题这对游戏形式主义者提出了如下：Metatheory本身就是一部分大量的数学，表面上致力于朝着它，混凝土的无限的物体领域。 对象语言游戏微积分表达的令牌可以是有限墨迹等; 但由于有无数的表达，定理和证据，因此必须被视为抽象类型。 最多，形式主义可以实现一些数学理论，例如集合理论的Transfinite领域的承诺不仅仅是无数的无限的，但仍然是算术的摘要，其中标准可数的语法和证明理论诸如标准集理论的语言，可以作为甘德尔显示，如甘德尔所显示的。 这可能足以进行术语形式主义，尽管对语法理论的所有数学的减少不会与数学家一起走得很好（请参阅下面的咖喱部分）。 但如果我们认为他们受到某种反柏拉打主义的动机，它不会为游戏形式主义做。
可以以克服这两个关键反对的方式发展形式主义，这两个关键反对意见，适用性问题和与骚扰的问题，因为我会称之为？ （并不是那些这些是对形式主义的唯一反对意见，而是他们是两个基本主义的意见。）因为Frege的批评没有在数学的后期哲学家中挤出所有形式的冲动，我们将在未来的发展中看，看看它们是如何票价的。
3.牵引车形式主义
Wittgenstein是一名激烈的弗雷格的工作学生，针对弗雷格本人在弗雷格·罗素下进一步研究了他在耶拿看到Frege的访问过程中。 然后，一个人认为他接种了侵入形式主义。 但是在维特根斯坦的Tractatus中确定的形式元素表面。
是的，Tractatus是一个令人惊叹的难以解释的工作。 即使是关于本书的主要部分，基本上所有的问题，除了前言的“框架”之外，也将被视为呈现形而上学的严重尝试是争议的。 如果我们留下过诠释性争议，并考虑向我们提供的形而上学，一种发现的形式的方面是双重的。 首先，据说数学句子来表达'伪命题'，因此没有真相值（只有偶然命题有真实值）。 其次，数学被描述为“微积分”，这是不可用于代表世界本身的世界，但其价值完全有助于乐器。 为了确定，最明确的这一句不是在Tractatus中，但在评论中，Wittgenstein在Ramsey的副本中写道：
数学的基本思想。 通过操作的概念，在这里表示的考虑是逻辑预先计算的开始计算等数字。 数字是微积分的基本思想，必须如此（lewy，1967：421-2）。
在Tractatus正确，我们确实知道数学命题只是仪器（所有数学，而不仅仅是“理想的”片段，就像希尔伯特一样）：
确实在现实生活中，数学命题绝不是我们想要的。 相反，我们只利用来自不属于数学的主张的推论，同时不属于数学的引发。 （在哲学中的问题中，“我们实际使用这个词或这个命题是什么？”反复导致有价值的见解。）（tractatus№6.211。）
该想法是由陈述的原因：
数学是一种逻辑方法。 数学命题是方程，因此伪主张。 （同上，¶6.2）
数学命题并不表达思想。 （宜人，¶6.21）
但是，必须小心。 威特根斯坦区分了窦道的话语，其中缺乏无意义（包括这里的逻辑Tautologies和矛盾），这些是非姓名的，无意义; 尚不清楚的数学话语落下。 人们可能会认为游戏形式主义者应该对待数学的话语，在这一观点上只是毫无意义的标记，作为UNSINNIG，而不仅仅是Sinnlos。 然而，与游戏形式主义的一个明确差异是：对于维特根斯坦数学，不应被视为与语言的其他用途分开的微积分。 相反，他试图表明该部分算术，至少可以被视为在语言的非数学用途中被视为接地。 相比之下，争论算术（和分析）的适当陈述应该展示其普遍性地使人们能够统一占多种不同应用（CF.Dummett，1991章第20章），这也强烈地争论了数学的视野话语在他们在应用程序中使用之前具有独立于概念性的含义。
Wittgenstein在Tractatus超越算术的情况下没有尝试数学的理论，在那样的算术片段相当狭窄。 该理论明确分享了比赛形式主义者的反柏拉图主义。 没有数字，算术应被解释为一个微积分，其中一个操纵运营商的指数或指标。 什么是运营商？ Wittgenstein将运营商术语与职能条款区分开，但评论员努力解释了什么区别。 很明显，Wittgenstein认为，应用于不同字符串T的两个函数术语F和你有不同的含义，其中“意义”Wittgenstein意味着指的是Frege的Bedeutung。 因此，“f（t）”中的“f”不将与“f（f（f（f（t）”中的最外形相同的实体;这应该是Russell Paradox的解决方案的基础（¶3.333）。特别是“父亲”约翰的父亲意味着与“约翰父亲的父亲”中的最外面发生了不同的东西。没有真正迭代的功能应用换句话说，对于罗素的悖论来说，许多人会发现与疾病一样糟糕。
