数学哲学中的形式主义（二）
然而，运营商将与至少该方面的功能区分开：操作符的真正迭代 - 命题逻辑的句子运算符是素幂的，而不是假设从一个令牌的一个令牌改变或参考的变化。 他们的意思或指称是什么？ Wittgenstein否认他们有任何涉及者，这是他声称逻辑常数不是代表的宣传。 Peter Hylton（1997：96-98）认为，当他谈论“职能”时，Tractatus的Wittgenstein在Tractatus中有Rustellian命题功能，并以痛苦区分运营商从这些“实质性”实体中。 Russellian命题功能与普通数学函数不同，弗雷格函数概念的模型。 相反，它们是结构化实体，与他们的价值观的命题有关的结构，这可能是一种思考它们的一种方式。 相比之下，运营商不适合任何此类实体，它们不是零件，也不是任何命题的成分，它们在其中“没有追踪”。
礼仪运营商被认为是映射而不是迹象，也不是题目，也不是其他迹象和索引，而是表示命题，（在Wittgenstein的相当课程中占课程中的术语）的主张。 在Wittgenstein的命令上，重复应用否定的操作，例如否定... P，~~~ ......可能会返回较早的点。 尽管如此，Wittgenstein试图在适用于非数学语言的句子运营商方面爆发算术。 （一个人可以在这里看到教堂的暗示在他的局部局面的数量中努力解决了Lambda微积分中的类似思想，作为反复应用输入函数的函数。）在口号形式中，数字是操作的指数（同上，¶6.021）。 因此，在ω是操作员的原理图和ωp（或ω（或ω（p）），其应用于一个命题，然后我们可以查看该系列
p，ωp，ωωp，ωωωp，ωωωωp，...
作为数字的“定义”的起点，通过将其重写为
ω0p，ω0+ 1p，ω0+ 1 + 1p，ω0+ 1 + 1 + 1p，ω0+ 1 + 1 + 1 + 1p，...。
此处，我们有无限的原理图重写规则。 诸如“0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1”的索引可以通过明显的方式缩写，以明显的方式，“0 + 1 + 1 + 1 + 1”缩写为“4”等。
Wittgenstein的例子（虽然他没有明确说明这一点），通过规则给出了两个数字/指数ωnp+ωmp（同样ωn+ mp）：
ωnp+ωmp⇒ωn（ωmp）
告诉我们我们可以替换右边的公式中左侧的表达式。
这是一个下面的身份的“正确性”这样的是n + m = r，除了为维特根斯坦没有这样的身份表达了一个真相。 在他的帐户中，身份符号在完全分析语言中消失，其中姓名和名称的姓名和明显的分析，其中任何两个都以完全分析的语言引用到同一对象（此视图为解释了数学话语的理由而引用tractatus作为unsfrig）。 Wittgenstein本人没有麻烦表明，放弃身份标志不会瘫痪语言的表现力，但其他人如HINTIKKA（1956）和Wehmeier（2004）所做的那样。 在底层语言中留下的内容，识别身份，是替代规则（Tractatus 6.23）。
这些必须以一般的方式解释，以及原理图。 因此，当我们插入〜ω时，我们发现（Wittgenstein此处没有直觉顾客）双重应用程序~~P将我们带回（具有相同的意义上）p。 但这并没有完成2 = 0的真相，因为对于许多其他操作ωp不等于p。 另一方面
ωΩ（ωωp）始终具有与ωωωΩ（ωΩp）相同的感觉
Wittgenstein隐含地假设与运营商的括号相互作用的合适规则，特别是广义联想。 （实际上，他使用括号和符号ω'p的混合表示ω（p）。）
由于等式ωnp=ωmp是在其基础逻辑形式中，而不是通用泛化∀n，m（ωnp=ωmp）但纯粹的原理图概括，没有形式∃n，m（ωnp≠ωmp）我们可以表达不等式，即使我们能够理解'≠'。 我们也不能示意性地表达不等式N≠M，因为保持ωmp的ωnp的不平等性，对于ωmp的各种选择。 否则，由于~~p相当于p，因此2≠0将失败。 司道理论无法处理不平等。
加法和对该操作的账户的限制非常多。 繁殖是什么？ Wittgenstein确实定义了它，在¶6.241，通过：
ωn×mp⇒（ωn）mp
但要把这作为一般原则，我们需要知道如何解释符号（ωn）m。 在更传统的数学中，可以简单地将（xn）m定义为xn×m，但显然这一点（或者相当等同于运营商的指数的相互作用）将向Wittgenstein的账户引入循环性。 或者，人们可以吸引对指数的递归理论 - AM×0 = A，AM×（n + 1）= AM + AM×n。 由于归纳所需的原则表明，递归是维特根斯坦的系统中无处可行的相干功能，因此这些规则可能会被视为原始的。
总的来说，Tractatus中的Wittgenstein在算法的片段中没有给予数学，基本上是涉及添加的积极身份。 在那里，他否认句子表达了真理价值的主张。 当然，这本书是在非常困难的情况下写的。 也许他的账户可能会进一步发展，更加符合，尽管上面有困难 - 但对于那个前面的一些怀疑主义，看到Landini，2007.当然，Wittgenstein没有尝试这样做，同时与F.P订婚。 Ramsey和20世纪20年代的维也纳圈。 如果维特根斯坦的立场无法进一步发展，我们可以选择放弃所有数学，除了，最多是添加的算术的片段; 或者拒绝牵手叙事账户。 人们不需要奴役不批评当代数学，看看合理的选择是什么。 不可否认，拒绝Tractatus账户也是Wittgenstein本人似乎在书的尽头采用; 然后，我们进入了通过这种奇怪和令人信服的理论来带我们的问题的问题，以便最终扔掉它。 （对于维特根斯坦的牵手派系的更积极评估，见Floyd（2002）。
Wittgenstein后来对数学哲学的工作，例如关于数学的基础1956/1978），长期以来吸引了比司法审计更少的批准，虽然是朱丽叶等哲学家Floyd和Hilary Putnam因数学（Floyd / Putnam，2000）而达到其辩护。 其主题包括拒绝实际无限（实际上，他着作的趋势是强烈的精神裁决）; 否定的句子是有意义的; 拒绝克伦的Powerset证明; 证明发现改变了所涉及的条款的含义; 和其他非常激进的想法。 其中我们发现对形式主义主题的继续遵守：
在数学中一切都是算法，没有什么意义; （哲学语法：468）。
在维特根斯坦的思想中的另一个持续主题是，数学的含义完全在其在非数学应用中的效用中。 但是没有系统理论，这种适用性如何发生，而不是保守拓展定理的证明，例如，展示了数学计算如何向经验的前提应用将永远不会导致我们获得实证结论，这些决定不会从这些前提下遵循的实证结论。 并且没有解决骚乱问题。 另一方面，我们应该观察到这些关于数学哲学的威特根斯坦的票据并没有被他出版，而是由他人在他去世后出版。 对于Wittgenstein的数学哲学的整体看法，整个都看到了Wittgenstein的数学哲学。
4.形式主义和实证主义者
Wittgenstein大大影响了维也纳圈。 “官方”实证主义的数学理论，就像它一样，不是形式主义者。 数学定理表达了真理，尽管是一种特殊的方式：凭借单独的意思是真实的。 最有影响力的实证主义者一直是卡内帕，如果一个人没有作为实证主义者将魔法分类（但在20世纪30年代以任何速度的奎因的观点分类，非常接近Carnap的Quere，Quine仍然是卡内的激进态度那个时代的经验主义而不是卡内皮）。 并且肯定可以在一些卡内普的着作中辨别强大的形式主义元素，例如在Logische Symtax der Sprache（1934/1937）和“经验主义，语义和本体”（1950/1956）中。
前书被翻译成英文作为1937年语言的逻辑语法。在它中，Carnap认为哲学的正确方法是从事作为“逻辑语法”的概念分析，粗略地说语法正确和证明理论。。 为了解决哲学差异，提出以正式语言或“框架”中的争议立场制定包括一个公理制度和证据规则; 鉴于这些，一些句子是“确定”，可提供或反驳。 这些是与该框架相比的分析和矛盾的句子。 我们如何选择哪些系统采用？ Carnap的宽容原则（1934/1937），52）允许我们采用我们希望的任何系统：
在逻辑中，没有道德。 每个人都自由地建立自己的逻辑，即他自己的语言形式。 [原始斜体]
Carnap将这种肆无忌惮的数学允许延伸，并且通常在数学家上致力于：
就特殊的数学计算而言，这里的宽容态度暗示，这是由大多数数学家默契的态度。 [同上。]
任何这样的微积分都可以算作一段数学，甚至是一个不一致的微积分。 通过淡化或彻底丢弃语义概念，我们只是绕过了关于实体性质的性质的传统本体论争端是“关于”的。 唯一的问题是任何给定的数学微积分的务实用途或其他方式。
这里出现了许多问题。 Carnap如何区分经验，科学理论和数学呢？ 其次，如果务实的效用主要是经验应用的问题，卡纳帕人的形式主义者如何知道给定的微积分将保守延长实证理论，这可以如何知道没有吸引有意义的数学结果？ Carnap写道：
形式的视图是正确的，持有系统的建设可以纯粹正式实现，也就是说，不参考符号的含义; ......但是如此概述的任务肯定不会通过仅施工Logico-数学微积分而满足。 对于这种微积分不包含......那些涉及数学应用的句子......例如，“在这个房间里有两个人现在有两个人”的句子不能源自“查尔斯和彼得现在在这个房间里，没有其他人”在Logico的帮助下单独的数学微积分，因为它通常由形式家构成; 但它可以在逻辑学家系统的帮助下派生，即在弗雷格的“2”的定义的基础上。 （卡纳帕1934/1937,326）
添加（斜体是Carnap的）'这种结构的结构，同时满足了形式主义和逻辑中的要求
但是，根据耐受性，“桥梁原则”的验证理论上的原则，以自由规定，验证 - 理论上的原则，如数字运营商 - “通过它们的配方中的定义发生 - 算术公理以及桥梁原则的内容包括：
φs的数量。=0↔∃x（φx＆Δy（φy＆y≠x））
φs的数量。=1↔~∃xφx？
也就是说，我们用句子将数字链接到ZERO，句子恰好存在适当类型的一个实体，其中一个具有句子的数字，说明没有这样的实体。 如果我们这样做，请为标准十进制算术添加规则，然后尝试应用此微积分，灾难将会随之而来; 但是，我们不需要一个满足的保守扩展结果来表明，对于我们使用的计算，没有可能发生灾难？
哥德尔的不完整定理对这个和其他问候中的卡纳普来说是非常困难的问题。 第一个不完整性定理告诉我们，在任何（ω-）一致的正式理论中，其定理归功地令人令人令人令人愉快，这需要某种（相当有限）的算术量，将有一个算术句，使其也不是其否定可提供。 在Carnap的术语中，这似乎产生了非决定性的句子，这是他的一个问题，如果我们相信一些这些句子是真的; 事实上，如果这些句子以适当的方式（有不同的方式）在该模型中以适当的方式构建的标准模型，则实际上，用于证明不完备结果的关键类型 - 实际上是真实的算法的标准模型。
哥德尔本人写道，但没有发布，是关于查询卡纳普的批判（Gödel，1953-9）。 Gödel侧重于他的第一个不完整的定理，而是在他在他的第二个定理中汲取的推论：这在一定的自然特征在一致性的特征下，可以通过他的衡量语法来数学方式给出的表征，没有正式的哥德尔型理论认为可以证明自己的一致性。 他认为查斯，为了使他的实证论证造成良好的实体论文，数学定理没有内容，需要为数学计算提供一致性证据，以表明他们没有经验内容，确实是一项丰富赋予所有经验句子。 然而，沃伦金菲拉伯注意事项（1995年：328）这一点未能欣赏卡内帕皮的1937年的深层全神主义，其中分析和合成的区别是相对于有问题的系统，“语言框架”。 （当然，这种深层全神主义都具有反直观的结果，即数学和实证科学之间没有框架超越区别。）
事实上，卡内帕理解了哥德尔的定理（Tennant，2008）; 他直接从哥德尔那里知道结果，他确实读取了逻辑语法的草案。 尽管如此，他展示了对其职位影响的显着无与伦比。 他承认，在展示一致性方面，搬到更强大的语言（§60c），并自由地帮助自己对数学技术进行归类，这些技术被归类为合同（例如，在他使用的§14中，无限的规则许多前列，尤其是后来被称为ω规则的最后一个。 以这种方式，他可以否认至少存在任何非确定句子，因为使用ω-RURE（相对于相当弱的合法逻辑，比经典逻辑和弱Axiom系统相比，每个真正的算术句Q-罗宾逊算术）。
Carnap的轻松态度源于他放弃寻找认识论的讲座。 如果希望通过上诉到形式的解释来确保我们对数学知识的知识，那么搜索贝尔伯特类型的一致性证明，寻求有道理，一个人会在一个有限的片段中寻找数学的辩护，我们的知识似乎难以抨击。 但是，也许是由于哥德尔的深刻定理，也许似乎放弃了这个目标，并认为容忍原则赦免了他任何这种需求。 人们可以规定一个人喜欢的东西，包括更强大的公理系统，可以从中证明较弱的理论的一致性。 这不会给出任何更坚定的地面，以相信或接受理论，但无论如何，人们不需要这样的理由。
现在几乎没有关于数学中的笛卡尔态度，所以查斯在这里的立场可能看起来合理。 然而，他没有那么清楚，他已经回答了适用性问题。 即使保守的扩展结果只能在更强大的系统中给出，我们也需要结果是一个满足的真理，而不仅仅是我们可以从某些系统中获得的一串符号，如果我们要保证我们即将在设计桥或计算机中使用特定的微积分将是务实的。 如果卡内亚人授予结果是一种满足的真理，我们可以问什么，根据这种形式的立场，构成真相。 为了肯定，卡内帕帕是恐怖而在形而上学争论中的恐怖。 但如果他的立场不仅清空了认识论的野心，而且是如此放气，只要可以将元素和科学理论的行列应用应用于数学和科学理论的行列，那么它也被所有哲学兴趣和停止都清空了对数学哲学的辩论进行干预。
不是那个卡纳帕真的放弃了形而上学：这种形而上学的反对者真的是一个兄弟形而上学，与他自己的竞争对手理论，正如F. H. Bradley可能所说的那样。 因此，后来的“经验主义，语义和本体论”的主要进口是解雇的本体论担忧，因为“内部”问题之间的伪装区分是伪问题，通过框架规则定居 - 数学，普通的“东西”谈话或其他 - 以及“采用框架的外部”问题？“。 对于这些外部问题来说，Carnap声称，没有真理价值的命题; 例如，没有这样的问题，表单的真实答案是：“是的，无限的许多抽象数字”。 相反，他们将被决定，决定采用或不根据宗旨，框架的效率，效果和效用的决定来回答关于有关话语的宗旨的效率，效果和效用。 但这些目标是什么？ 预测“感知数据”的流程，被视为形成世界的终极家具？ 如果是这样，我们认为vaunted本体中性是假的，我们有一种自由派形式的经验主义反现实主义形而上学。
形式主义的遗迹在于：Carnap需要“正确性”，以通过管理系统的规则确定，例如，与独立于规则系统的事实领域相对应。 他认为这种方法溶解了本体担忧并释放我们从任何义务解释自己如何有有限，血肉生物可以获得这种独立的事实领域的详细知识，这是抽象，非时间，非因果对象和属性，由卡纳映射暴露的王国作为形而上学错觉。 与形式主义的一个强烈的分解是卡内帕帕与所有话语领域都带这条线，而不仅仅是数学。
5.名义主义形式主义
W. V. Quine着名拒绝了凭借意义和数学的准逻辑学者作为一个分析真理的概念（以及部分原因，也拒绝了他的导师卡纳普的内部/外部区别）。 与尼尔森·古德曼一起，他制作了代替形式宣言的金额。 他的形式阶段似乎并不持续很长：他后来定居了一种数学柏拉米主义，贬低，如果没有在很大程度上忽视，他与“名义主义”的相对年轻的调情。 但是，虽然它持续了他和善意，通过解决正式呼吸或忽视的问题，虽然通过解决正式主义者的问题，但大大提升了对形式主义的讨论。
善意和奎恩的“建设性名义主义的步骤”（1947年）阐述了一个不妥协的游戏形式主义：
似乎从使用数学公式中归于自然科学的收益并不意味着这些公式是真实陈述。 没有人，甚至不是最坚硬的实用主义者，可能会将算盘的珠子视为真实的; 而我们的立场是，柏拉米粉化学的公式就像算盘的珠子一样，方便的计算辅助装置，需要涉及真理的问题。 （122）。
他们关心
数学的句子仅仅是因为没有意义的标记
所以
作为数学的这种可懂度具有源于管理这些标记的语法或元素规则。 （111）
值得赞扬的是，Goodman和Quine不会害羞地远离骚乱问题，语法和元化学本身的难度似乎在本地丰富，并致力于抽象对象作为算术。 相反，它们正面地面对它并尝试完全与混凝土物体的本体，其它这样的物品有限。 （然而，他们确实假设了相当强大的信息原理，特别是普遍构成：他们假设任何一组物体，然而散射或弥漫，也是一种情况对象-A'融合'或“总和” - 良好的身份。）
他们尝试制定一个“将把数学表达式视为具体对象”（同上）的语法（同上） - 作为实际物理标记 - 并为旧版定义为“公式”，“公式”和“证明”等概念提供混凝土代理。 然而，他们没有解决数学应用的问题，以这种具体，形式的方式解释。
除了适用性问题外，由于Goodman和Lequine开发的形式主义有两种进一步的关键问题。 首先，目前尚不清楚，他们有权获得他们对语法的一般声称，被解释为关于某些混凝土标记和标记融合的理论。 因此，当争论他们在“准公式”方面的公式定义时给了我们所想要的结果，他们说：
通过要求X中的下一个更复杂的替代拒绝是准惯例的替代否认，定义保证这些也将是直观意识的公式; 等等，到x本身。 （116）
（'替代拒绝'是Sheffer Stroke操作p | q如果只有一个组件是假的，那么这是真的。）问题在于“等等”。 Goodman和Lequine正试图通过任意公式来努力，表明他们的定义将确保每个较大的组件是公式。 目前尚不清楚我们如何为任意X保证这一点，而无需异式复杂性等等; 但这不能作为公式不在通常的归纳机定理时尚中生成的公式。 类似的备注适用于证据上的证据上的示范。 120，在直接预期的立即子预防和结论中具有内部的优先顺序。 演示在所有数字K上进行了泛化，其中混凝土证明中的公理数量，然后吸引它们的一系列选择。 这似乎预先假定了所有数字和确实可数选择的概括的真实性，资源无法对严格的名义主义者无法使用。
