数学哲学中的形式主义（三）
其次，善意和奎因可以说什么句子
222222 + 1是素数？
（即 - 用'2 ^ n'表示'2到电源n' - '[2 ^（2 ^（2 ^（2 ^（2 ^（2 ^（2 ^））））] + 1是prime'; cf. tennant，1997,152。）他们不能否认句子存在，因为我们的眼睛前有令牌。 但是有强烈的理由认为，没有具体的证据或脱轨存在，因为唯一可以使用的方法可以使用更多的时间，而不是任何人类可以在她所处理的情况下使用的空间和材料，也许比实际存在。 有着无数的句子与这个属性：它们的混凝土代币存在，但实际上没有具体的证明或驳斥，无论如何，人类可以作为一种有意义的话语操纵。 （CF.Booleos，1987.）Goodman和Quine的说服的形式主义似乎被迫得出结论，如上所述，在通常的正式意义上可判定的句子既不是真实也不是假的，因为既不具体化也不是规定的具体反驳。 然而，为了拥抱这种观点，将是目前实践的屠宰数学; 这种后果应该宁愿被视为他们职位的减少广告荒谬。
6.术语形式主义：咖喱
最实质性的数学哲学哲学的最实质性的尝试是Haskell Curry的数学哲学的概要（咖喱，1951年）。 咖喱不是游戏形式主义者，他的立场更接近一步形式主义，这是我们开始的两个观点。 然而，咖喱的数学哲学是或企图成为一个高度反形状的哲学，至少在某种程度上，他认为他可以对数学的本体论承诺问题保持中立。
数学可以作为一种科学，以便独立于除最大的哲学假设之外。 （3）
因此，他并不是由抽象对象的反白金主义者的激励。 事实上，他的中立性是有点损害，因为咖喱完全乐于致力于提出可能的抽象表达类型的无限本体。 正式他能够在原语 - 他误导地称之为他们的正式系统的令牌的误导性：
我们可以拍摄那些我们所取悦的任何对象，同样我们可以考虑运营商结合具有必要的正式属性的这些对象的方法。 （28）
但由于对于许多系统而言，没有绝对的原始“令牌”，他们不能全部用具体标记识别数学家实际产生的混凝土。
与术语形式主义者一样，咖喱在哲学反思后妥善重建数学，以具有基本上句法主题，即正式的系统。 与弗雷格的对手不同，咖喱，写在Metamathematics学科的发展之后，能够更加严谨（尽管他的案子有点古怪）叙述了正式的系统。
没有限制是在构成公理，规则，因此是正式系统的定子上的限制。 正式系统的基本命题的真理仅在系统中的可证明中组成。 他的一个正式系统（例7：23）只有一个谓词“由Gödel表达的一般性谓词”是“IST Beweisbar”（23），即可加速度谓词。 该系统的基本真理可以被解释为关于底层系统中的可证明的索赔。 通常情况下的任何正式系统都可以“将”减少到其中，其中只有一个可加速的谓词和真理（=可证明的）在基本命题φ的还原系统中仅当φ在减少的系统中可提供时，⊢⟨φ⟩（34-35）。 咖喱允许通过通常的逻辑运营商从基本命题可以形成化合物，以便以证明理论的语言表达复杂的命题（第IX章）。
结果是，数学一般成为元素，一个有争议的理论 - 咖喱师的判决表达了真理价值观的命题 - 阐述了关于潜在的正式制度中可证明的东西的真相，其解释或相当解释的潜在制度没有采取在数学上很重要。 然而，这种观点威胁要崩溃到结构主义中，以观察数学的话语，因为模式隐含地揭开了一系列（通常）抽象结构，这是满足模式的范围。 关于骚乱的问题，咖喱不寻求回答这个; 没有真正的尝试避免承诺对物体的丰富本体，除了仅考虑标准的正式系统，可以使用可以发挥语言表达的角色的可数本体论。 但是，只有在扭曲数学实践的成本上。 设置理论家，拓扑师，分析师等。 招待猜想，并尝试证明“关于”套装，拓扑空间，在复杂数字上的功能等。 在他们的哲学时刻，他们可能想知道他们摔跤的概念是“关于”的概念，但他们不在一般娱乐猜想中或试图证明事情“关于”表达字符串“，除非在证明关于集合，空间，空间的东西中对他们来说是有乐器价值的影响。复杂的飞机等（参见Resnik：70-71）。
7.咖喱霍华德对应
Haskell Curry也在将逻辑与计算机科学的发展中发挥重要作用，其中一些争论可以为数学中的形式主义提供支持。 他对组合逻辑的工作以及W.a.霍华德的工作导致了“咖喱霍华德对应”（'咖喱豪朗'，从此书写'ch'）或'ch同构'连接逻辑，证明理论和计算机科学。
咖喱旨在提供一般的功能理论，作为逻辑，“预逻辑”的基础的一部分，因为咖喱称为它。 特别是（咖喱1934）和罗伯特Feys，（咖喱和1958年）。 与咖喱在该地区的第一个出版物同时，Alonzo教堂开发了他没有型号的λ-微积分，还旨在为逻辑，实际数学更普遍为逻辑提供基础，并且还采用函数，非常适用，是基本的。 在这些功能性计算中，（对于全面的帐户见BarendRegt（1984），也用于Lambda Calculus的条目）级联FG表示函数f的应用于Account G产生输出值。 参数和值都可以是函数，允许自我应用程序。 虽然Curry的系统是无变的，所以通过λ术语，变量x，如果在n中发生λ，则在n = n，而在n××.n中发生变量绑定。 λ-微积分的基本操作是β还是减少，使我们从（λx.n）m到n [x：= m]。 这里n [x：= m]是替代m在n中的所有自由发生的结果。[3] 因此，例如，（λx.xx）fβ-降低到FF。 我们可以写这一点：
（λx.xx）f⊳ff
因此，这些Calculi实现了TrActatus中的Wittgenstein（见上文）似乎在他的运营/功能区分时，因为在教会和咖喱中，我们有一个完全开发的“操作”理论，它是可以作为参数和值的函数。 当然自我应用，如无限循环β-减少：
（λx.xx）（λx.xx）⊳（λx.xx）（λx.xx）
⊳（λx.xx）（λx.xx）
⋮
提高悖论可能出现的担忧。 教会认为避免使用自由变量和限制被排除的中间（教堂，1932：346-7）被阻止的悖论，但Kleene和Rosser展示（1935），使用了该系统的基于理查德悖论的策略琐碎：可以使用规则派生每种公式。 教会修理了这一点，以产生一致的无型λ微积分，但关于CH对应的重要步骤是键入的λCalculi的开发。
现在'类型'是一个非常过于劳累的词。 其中一个类型的令牌使用其一个意义（粗略为抽象语法对象），有时被用来代表属性，包括高阶属性，如罗素的各种类型的理论中。 教会是在他简单的λ-微积分（教堂，1940）中继续这种传统。 在这种用法中，诸如全部属性或形状的类型，例如在第一种情况下具有诸如Fido的实例，或者在第二种情况下是平方的较低属性。 因此，这个意义上的类型的实例不需要是抽象对象。 另一个使用是句法，因为当语言的基本表达式被分成各种不相交的类别（'类型'）并且设置用于生成良好的表达式的形成规则，被设置为使用类型的区分。 在这种用法中，“类型”是某些对象理论语言语法的表达式。 在某些情况下，句法理论实际上是在讨论下的对象理论的一部分。 独立于此，通过规定对象语言的良好表达式包含句法适当的部件，标签的概要表达式，一些句法类型理论的一些陈述理论“推下”对象理论的句法定位。表达的传言论和没有语义作用。 例如，在Howard（1969）中，命题逻辑条件片段的良好形成的公式用作类型理论的超标题型符号。
表达式«n：τ»通常沿着以下方式读取：
术语n是类型τ
因此，可以以多种方式读取：
I：非句法：n由n引用的实体是τ所示的类/ set /属性的实例，该实例不需要句法，也不是更常见的，摘要。
II：元句法：n由n引用的表达式是语法类别τ的实例。 句法理论，其中术语归档发生是“Meta”，相对于背景智力上下文，因为它不存在于其本身提供语法的语言中表达的更一般理论的（在其预期的解释）部分中。
III：句法：表达式n是语法类别τ的实例，类型理论是本身属于的语言的句法理论。
虽然某些教科书在类型理论上看起来似乎，逻辑师，恰好朦胧，如上所述，如果有的话，如果有的话的“类型”的解释就在问题上，这肯定不是这些理论的先驱的情况。 例如，霍华德在他的经典文件中写道，“施工的配方 - 型号概念”：
标题有第二个缺陷; 即，应该将一种类型视为[SIC]抽象对象，而公式是类型的名称。 （1969：479）
并区分类型和类型符号（480）。
各种类型理论的非句法模型，尽管这些是稍后开发的，例如（斯科特，1970），并制作相当强的设定理论基数假设，例如难以接近的红衣主教。 对形式主义的更重要的是“术语模型”，类似于语言的解释的句法模型，这是利用自己的符号作为域的成员，在Henkin完整性证据中找到的解释; 特别是“句法语义”方法，如在Martin-löf的直觉类型理论的一些解释中（见直觉类型理论的条目），或者彼得施罗德 - 入学者的“证明理论语义”（见避免验证语义的条目试图通过引用“外部”真实条件来赋予类型和术语的含义：数学语言不应被视为某种独立现实的代表。
在这种情况下，“类型”的荟萃句法和句法读数之间的区别并不是很重要。 重要的是，类型理论的原理和推理规则使我们能够证明关于类型的元定理。 可以将这种情况与序列微积分和自然扣除之间的关系进行比较，前者的转置ζ可解释为一些潜在的自然扣除系统中的衍生能力的关系，以及为对象语言衍生性提供更高阶定理的搜索结石。 因此，是否将类型的思想视为元理论概念，所以类型理论的结石使得可以将定理证明术语N是τ的效果。
现在咖喱在（1934年）的工作中，（1958年）更完全充分的活动在有条件的理论和类型理论中的基本组合器类型之间存在一定的对应关系。 特别地，用→作为表示函数类型的条件和ανβ，即类型（非句法）的类型α功能和输出类型β函数，我们（这里是⊢t→意味着积极（非相关主义）条件和⊢cl的理论是在合适的组合逻辑中的可证明性）：
⊢t→a→b iff for some n，⊢cln：α⇒β
其中n是从基本组合器构建的术语，并且α是结构上同构的（同样β至b）。 也就是说，通过替换命题语言公式中的统一替换（可能是基本类型的名称，可以通过替换→by的每次出现来生成→b的→b。
咖喱和费用（1958）将对应的想法扩展到了理论之间的一个与绅士的序列微积分之间。 在已经引用的论文中，于1969年发表，但仅在1980年在咖喱的Festschrift中发表，W.A. Howard（1969）通过展示直觉杂志形式自然扣除和类型之间的对应来加深了CH对应理论以λ-微积分形式，概述涵盖直觉算术 - 'heytitch算术'（HA） - （因此要求扩展命题到谓词逻辑），作为构建建构主义概念调查项目的一部分。 霍华德通过在序列微积分和型归类中不仅在不可证明的公式之间进行了通信，而且在类型归根和相应公式的证明之间的术语之间进行了深化的结果。[4] 例如，（对相关主义者的恐怖），在T→中可以提供→（b→a）。 相应的类型是α⇒（βία），基本操作员K的类型，其动作是
nm⊳n
并且其λ表示是（λx。（λy.x））（通常是缩写λxy.x），如β-还原链可以看出：[5]
（λx。（λy.x）n）m⊳（λy.n）m⊳n。
T→中最简单的→（b→a）的证明是：
一种
1
b→一个
一个→（b→一个）
1
图1
其中，第二步，到中间结论B→A，是→I（ntroduction）的实例，其具有不计的前心脏B的空泡排放（在搜索的微积分版中，细化规则，在搜索中增加了额外的假设将使用前一种前进状态）。 理论型TT [6]术语“居住”α⇒（βα）的构建的理论TT [6]采用表格：
x：α
x
λy.x：β⇒α
λxy.x：α⇒（β⇒α）
x
图2
这里λ抽象，引入λ术语，对应于→i，因此显示具有类型α⇒（βα）'代码的→I→I的类型的两个步骤的λ术语λxy.x，即规则⇒i引入功能类型（第一个应用程序的一个例子是空泡排出的示例），我们可以恢复上述命题定理定理的证明。 此外，鉴于某些类型的编程语言中类型的理论计算和程序之间的紧密连接，我们还可以将TT证明视为构建某种类型的计算对象的步骤的程序。
在自然扣除系统中，归一化是冗余推理循环被消除的过程。 在某些逻辑（例如直观逻辑）中，Metatheorem的归一化元化持有并告诉我们任何证明都可以剥离其冗余并平滑地减少到正常形式。 霍华德提出的另一个相应的对应程度，将标准化与其中复杂术语减少到其最简单的形式的程序中的“评估”（这在更富有表现力强大的类型系统中，这并不总是可能）。
它似乎是kreisel，他们将口号的“公式作为类型”推出，Martin-löf负责更广泛的“命题”口号（再次见，Wadler，2015）。 在哲学背景下，“命题”通常用于表示像句子的含义一样，即某种排序的公式。 使用该术语，广泛的直觉景点位置是公式表达的命题是公式所有证据的集合（或用于直觉主教）的设定（或物种。 鉴于不同的可提供公式将对应于不同类型，CH对应允许我们将此“语法语义”位置重新查找：HA公式表示的命题是其证明的类型，其中'类型'不是直接的同义词“设置”或“物种”，但是来自λ-微积分的概念。 如上所述，这种微积分是一个正式系统，具有丰富的互连，其中具有编程和计算机科学和读数，其中类型的实例纯粹是句法，例如校样实体。 因此，公式的含义，在这种读数上表达的命题，不代表从中出现公式的语言系统不同的现实。
那么，与直觉的联系是明确的：但是CH对形式主义的对应的相关性是什么？ 首先，在某些形式的直觉和某些形式的职位之间存在透明重叠。 不是创始父亲Brouwer的哲学直觉，当然，其作为心理结构的本体论和数学知识基于内部反思的思想，其中包括关于思想的继承; 这是一种远离形式主义的数学形而上学。 但是，许多建构主义者已经接受了，而不接受他的形而上学，布鲁瓦帝鉴定或密切联系，数学正确性（真理，如果一个人准备谈论数学真理）。 这种识别不仅仅是对某个品牌的形式主义的识别，其中拒绝了数学论文代表着一种独立的现实，并且在一些正式系统中，这也将数学绵羊从山羊中划分为那些，在一些正式的系统中，与那些相比这是不可移动的。
但直觉主义者和形式主义者之间也存在大量差异。 对于一件事而言，不仅有了Brouwer，而且还有许多后来的建构主义者拒绝在一些正式系统中识别可证明的可证明性。 对于另一个，形式主义者普遍认为可以自由地帮助自己古典逻辑，并强调了数学家的自由创造力：她应该自由地产生她希望的任何数学理论，如果他们结果是不一致的话，只会撤回他们（在所选的背景逻辑中）。
在第一个点，形式主义者当然是一个形式主义者！ 她将至少在最基本的水平到正式证据链接正确性。 此处，CH对应或更好的对应关系肯定对形式主义者非常有吸引力。 命题和计算之间的联动，术语编码证明对不可缩小的正常形式的算法减少，非常紧密地与那些使用数学的形式主义，在心脏，没有外部参考的符号。
在第二点，CH对应关系的进一步工作将直觉逻辑的结果概括为各种其他逻辑，特别是古典逻辑（Griffin，1990），以及诸如模态逻辑和线性逻辑之类的其他逻辑框架。 “公式 - 根据类型”施加了繁重的逻辑限制，那么不需要形式主义者用一只手绑在她身后的一只手。
形式主义者珍惜的自由创造力是什么？ 当然，建构主义类型理论已经超越了良好的算术; 特别雄心勃勃的延伸将在基于同型型理论（AVODIODY，2014）的单同型基础项目中找到。 然后，这是一个基于公式的型号的大道，可以追求。 但是对于希望成为非修正主义的正式主义，关于非建设者数学，前景可能不太清楚。 在标准框架中，它还不足以增加在标准框架中产生特定理论的额外公理或推理规则。 一阶或更高阶语言。 对于一个人需要做进一步的工作，以证明在该系统中获得CH对应的扩展。
此外，还存在一个问题，验证理论属性（一种直觉逻辑满足）的问题，当⊢∨b然后⊢a或⊢b.经典理论通常没有这个属性，除非否定 - 完成，否则这将揭示CH对应和证明中间的证明的造成问题（假设形式主义者不仅仅将所有非琐碎的计算视为合法，而不需要正当理由）。 如果相对于特定框架的数学索赔的正确性，则以可提供可执行的识别，如果差点可能是正确的，那么既不能够证明，那么形式主义似乎需要一些花哨的步法 - 监管主义在这里并不明显适合 - 在这里是合理的古典逻辑。
还存在适用性问题，弗赖格认为形式家是一个可估算的。 意义如何是应用数学概念，例如“φs的数量”，其中数学和非数学话语混合在一起？ 除非CH形式主义者愿意下降Dummettian反现实的路线并概括对验证概念的证据概念，否则适合实证语言的概念，她将不得不找到一种结合的方法，没有太多的临时，一个校验理论语义对于具有不同的纯数学，也许是实证语言的现实主义者，真实性的语义。
