数学解释（一）_数学联邦政治世界观

数学解释的哲学分析涉及两种不同，虽然连接，调查领域。第一个领域解决了数学是否可以在自然和社会科学中发挥解释作用的问题。第二个涉及数学解释是否在数学本身内发生的问题。因此，该进入对这两个领域的贡献进行了调查，它表明了与哲学，数学和科学史的相关性，它阐明了他们的联系，并通过深化我们对主题的理解来指出预期的哲学酬金。

1.经验科学中的数学解释

1.1一些历史评论

1.2解释理论

1.3数学模型和理想化

1.4解释性不可或缺的论据

2.数学中的数学解释

2.1一些历史评论

2.2数学解释模型

3.与其他辩论有些联系

参考书目

学术工具

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相关条目

1.经验科学中的数学解释

几乎所有我们最成功的实证科学都雇用了大量数学。此外，科学家们常常强调解释他们发现的一些现象的价值。如果数学非常适合促成对自然现象的解释以及这些贡献可能是什么，这是自然的。在科学哲学中，解释的大多数账户都是通过适当描述的解释来确定原因的适当描述（参见Salmon 1984，Cartwright 1989，Woodward 2003，Strelvens 2008，Beebee，Hitchcock和Menzies 2010进行概要）。几乎每个人都可以承认数学工具是跟踪或代表原因的出色手段。例如，数学可用于解释为什么哈利的彗星轨道有75岁。关于实证科学的数学解释的大部分争论都集中在更具争议的情况下：如果有任何情况，这些情况可能在非因果解释中发挥的作用，以及这些情况如何挑战这种情况或者对因果解释的挑战（Reutlinger＆Saatsi 2018）？

被强调的一种案例旨在解释一些过程的可能性或不可能。例如，为什么我们不能在三个朋友（Lange 2013）中平等地划分我们的23个草莓，或者为什么我们可以将81个邮票安排到9乘9左右？合法的解释似乎是23在没有剩余的情况下不可分割

81。

既不是数学的事实是有关过程的特征的原因，所以我们似乎有一个非因果解释，其中数学是解释的一部分。其他进程的可能性或不可能是调查自然系统结构或正式特征的数学领域解释。例如，为什么我们不能制作Königsberg的桥梁的途径，涉及跨越每一个桥梁一次（Pincock 2007，Molinini 2012）？这是通过桥网络的抽象结构来解释。为什么有稳定的行星轨道可以？已经提出了一个解释，提出了对时空的尺寸（Woodward 2003）的吸引力。

另一种非因果数学解释涉及一种现象的醒目或令人惊讶的特征，在那里可以通过情况的数学分析来识别该特征。该特征可以与最小化过程相关联，或者特别适合或稳定，以便可以是数学原因。也许最讨论的情况是三年级周期蝉生命周期的长度：为什么这些长度是13或17年（Baker 2005,2017）？解释是，13和17是素数，并且素数为寿命循环赋予相对健康优势在避免掠食性和稀缺资源等稀缺性资源。其他广泛的进化案例包括蜂窝细胞的六边形形状（Lyon＆Colyvan 2008，Räz2017，Wakil和Justus 2017）和向日葵中的种子模式（Lyon 2012）。关于这些最优性解释在生物学和经济上有效的广泛文献（Potochnik 2007，米2015,2021）。然而，这种解释性来自数学的贡献也可以在其他域中找到。例如，为什么SOAP电影服从高原（Lyon 2012，Pincock 2015A）？这可以通过表面最小化的过程来解释，受到约束。情况的数学是法律承担的性格的核心。其他情况打开了一些过程的稳定性或不稳定性的数学分析。例如，为什么所谓的Kirkwood差距出现在我们的太阳系的小行星皮带（Colyvan 2010）中？占据一些空间区域是不稳定的，因此在这样一个地区开始的小行星可能会留下它。类似的分析解释了土星环中的图案或像桥的工程结构的崩溃。（另见Ashbaugh，Chicone＆Cushman 1991，Colyvan 2001，Lipton 2004，Baker 2015A和Lange 2017，提供了一系列其他示例。）

第1节的其余部分将考虑有关非因果数学解释的一些辩论历史（第1.1节）及其对科学解释的各种理论的重要性（1.2）。然后，该部分转向与这些解释的这些特征密切相关的另外两个辩论：尽管他们高度理想的角色（1.3）以及数学在科学中的解释作用，数学模型如何能够支持对纯数学的旧版解释（1.4）。

1.1一些历史评论

数学是否有助于解释物理世界，或者它实际上妨碍了解解释自然现象的理解机制吗？这里不可能在完全复杂的情况下对待这一主题，但一些言论将有助于读者欣赏这个问题的历史重要性。

亚里士多德在其他事情的情况下，他在“后分析”中的科学知识的理想描述了原因：

我们认为自己拥有不合格的科学知识，而不是以诡辩者知道的意外方式知道，当我们认为我们知道事实的事业所取决于事实的原因以及别人的原因，而且，事实可能不是不是。（BWA，111，帖子。一个。I.1,71B 5-10）

有问题的原因是四个aristotelian原因：正式，材料，高效和最终。如今，亚里士多德的翻译和评论员更喜欢将AITION [AITIA]翻译为“解释”，因此四个原因的理论成为四种类型的解释。例如，这里是Barnes'翻译前面引用的段落：“每当我们认为我们都意识到这两个解释是它的解释，我们认为我们了解一件事（而不是意外地忘记了诡辩时尚），因为它是它的解释，并且它是不可能的否则。” （CWA，115，帖子。一个。I.1,71B 5-10）

但我们如何获得科学知识？通过示范获得科学知识。然而，并非所有逻辑上的证据都为我们提供了产生科学知识的那种演示。在科学示范中，“在结论之前，前提是真实的，主要，立即，更好的知名和更好的知名度，这与他们的效果进一步有关。” （BWA，112，帖子。一个。I.1,71B 20-25）在Barnes的翻译：“如果，那么，理解就像我们假设一样，有必要表明理解，特别是依赖于真实和原始的事情，而不是在和之前熟悉的事情。结论的解释。” （CWA，115，帖子。一个。I.1,71b 20-25）

因此，在“后分析”I.13中，亚里士多德在“事实”的示威性之间介绍，和演示“的原因”。虽然两者都是逻辑上只有后者镜子正在调查的现象的因果结构，因此为我们提供了知识。我们可以分别称为“非解释性”和“解释性”示范。

在亚里士多德的系统中，物理学不是数学，尽管因果关系适当。然而，亚里士多德还广泛讨论了所谓的混合科学，例如光学，谐波和力学，使它们作为“数学科学的身体更为物理”。在这些混合科学与纯数学领域之间的下属关系（见Dead 2011）。例如，谐波从属于算术和光学到几何。亚里士多德毫无疑问，物理现象有数学解释：

在这里，它是经验主义的科学家了解事实以及数学来了解原因; 对于后者有了解释的演示，并且往往他们不知道事实，就像那些考虑普遍的人经常通过缺乏观察来知道一些细节。（CWA，Vol。I，128，帖子。一个。I.13,79a1-79a7）

然而，数学是否可以给出自然现象的解释的话题是有一个分歧的话题。作为数学可以应用的域名，所以也对它的抵抗力。一个张力源于试图调和纯数学的亚里士多德的概念，因为从物质和运动中抽象出来，具有物理（自然哲学）和混合科学都谈论自然现象，从而依赖于物质和运动。例如，文艺复兴时期的重要辩论，被称为Quaestiode Certitietidine Mathematifatifationarum，很大程度上都集中在亚里士多德（Mancuso 1996，Ch.1）分配给它的解释角色。有人认为缺乏因果关系，数学不能成为自然现象解释中的“解释性”联系（另见1.2和1.3节）。

当我们到达17世纪和牛顿革命的物理学时，问题在解释和可懂度的标准变更的背景下重新出现。这在Y.Gingras（2001）的一篇文章中已经精美描述。 Gingras认为，“在动态中的使用数学（以其在运动学中的使用不同）的使用具有转变术语”解释“的意义，因为哲学家在第十七世纪的哲学中使用”（2001年，385）。 Gingras在其他事情中描述的是由牛顿及其追随者所支持的力量的数学治疗 - 一种忽视可以解释为什么以及这种力量的机制的治疗 - 在十八世纪成为一个接受的解释标准。在参考第十七世纪的重力机械解释的第十七世纪讨论之后，他备注：

这一集表明，作为可接受的“解释”（在这种情况下，在这种情况下的引力）的评价标准正在转向数学，远离机械解释。面对没有机械解释的现象的数学制定，越来越多的演员即使在没有找到后者的价格也选择了前者。这是一个新的东西。在整个十七世纪和十八世纪，“解释”一种物理现象意味着给予其生产的物理机制。 ......牛顿的普林尼亚的出版标志着这种转变的开始，其中当后者没有符合计算时，数学解释是优选的。（Gingras 2001,398）

在抵抗“物理解释”和“数学解释”之间抵抗这种混乱的人之一是Jesuit Louis Castel。在“VraiSystèmedemeariqueGénéraledem.Isaac牛顿”（1734年）中，他讨论了Principia的第三次命题XIII（关于Kepler的地区法律）。他批准，该命题在数学上连接了逆平面法，到了行星过程的椭圆形。然而，他反对“那个不是原因，另一个原因”（Castel 1734,97）并且那个牛顿没有提供任何物理解释，只有数学之一。实际上，“物理原因是有关机制的联系的必要原因。在牛顿，没有这种存在。“ （Castel 1734,121）

一些当代讨论抵达这些担忧。考虑莫里森的书统一科学理论（2000）。本书中的一个主要论文是统一和解释往往沿不同的方向拉动并分开（与统一解释理论索赔）相提并论）。她介绍中讨论的一个例子提醒我们的宪法反对意见：

另一个例子是牛顿普利普利陆地和天族现象的统一。虽然受笛卡尔力学的影响，但普林尼亚最引人注目的特征之一是在机械原因方面远离行星运动的解释。相反，突出了数学形式的力量; 通过开纸器发现的行星椭圆形式是“解释”的作用的作用的数学描述。当然，引力吸引力的逆平方法解释了为什么行星妨碍他们所做的方式，但没有解释这种引力在尸体上的作用（如何运输），也没有任何因果属性的陈述。（莫里森2000,4）

使用几个案例研究（Maxwell的电磁，电磁统一等），莫里森认为统一的数学结构“通常提供对统一理论的物理动态的很少或没有理论解释”（Morrison 2000,4）。简而言之，数学形式主义促进统一，但并没有帮助我们解释物理现象的方式和原因。

我们必须在这里结束这些历史评论，尽管以更系统的方式进入第十九世纪和二十几个世纪，对这些问题有趣物理史上的关键交叉点）。

上述目的是为展示在科学哲学哲学的当代讨论中准备地面，我们现在仍然面对这些问题。

1.2解释理论

在第1.1节调查的亚里士多德传统的两个遗产是解释要求的原因，提供解释需要给出对法律的争论。自20世纪60年代以来科学哲学的辩论表明了人们如何在另一个（Salmon 1989）上有一种遗留权。 HEMPEL的演绎 - 注释解释的分析要求解释是从真正的房地中的减少有效的论点，其中至少一个前提是一个科学法（HEMPEL 1965）。在这种广泛的传统中，Hempel和其他经验主义者都是谨慎因素解释而导致的。即使在一些Hempel的批评者中，这是显而易见的，例如Kitcher，他强调了解释的统一力量。对于Kitcher来说，解释是演绎论点计划的实例，其中采用的计划是根据我们接受的索赔的全球特征来确定的（Kitcher 1989，参见第2.2.2节以获取其他讨论）。

相比之下，鲑鱼的工作说服了许多科学哲学家，解释需要只提供有关解释目标的因果信息（Salmon 1984,1989）。对于这一传统的鲑鱼和其他人，解释不需要法律，并且不需要甚至是争论。这种方法的一个发展使三文鱼的强调因果机制视为一种特殊的过程。所谓的“新力学家”赞同比鲑鱼更广泛的因果机制概念，并确定了一种产生它的机制的某些目标的解释（Machamer，Darden＆Craver 2000）。因果解释的其他方法包括大卫刘易斯的因果关系（Lewis 2004）和伍德沃德的干预主义理论（伍德沃德2003,2021a）。尽管他们的差异，但刘易斯和伍德沃德允许在没有机制的情况下解释。这使得它们的方法可以更容易地推广到非因果案件。

非因果数学解释的哲学讨论可以根据如何更普遍地与关于科学解释的辩论相关的课程。一个职位争辩旨在恢复像Hempel强调法律或Kitcher关于统一声明的东西（Baron 2019）。另一个位置从因果解释的说明概括，以便它可以包括这些数学案例（Saatsi＆Pexton 2013，Reutlinger 2016）。然而，第三个位置是多元的关于解释，并且认为解释有各种不同的种类，这些类型不能符合这两个选项中的一个或另一个（Pincock 2018,2023）。

Lange对非因果解释的广泛讨论可以被视为勇敢的尝试，以保护基于法律的方法，以返回Hempel（和亚里士多德）（Lange 2013,2017）。 Lange对法律的工作强调如何识别有权索赔的索赔，以促进解释（Lange 2009）。考虑“所有黄金立方体的卷”之间的对比度和“所有UR-235立方体储存的所有UR-235立方体少于1立方英尺”。前陈述已取决于目的，而后一种陈述具有一定程度的必要性。这允许后一种陈述有助于解释。 Lange的数学解释方法延伸这一点，使得数学索赔可以以独特的方式在解释中起作用，这是由于它们的特殊程度的必要性。这允许数学通过约束来贡献Lange调用的解释，以说明如何保证一些结果（Lange 2017，Ch。2）。这就是Lange如何对待草莓分裂案件，也是像Königsberg的桥梁一样。其他数学解释打开所涉及量的尺寸或某些过程的统计特征（Lange 2017，Ch。5,6）。在这些类型的每个情况中，数学索赔的模态特征允许它允许解释普通科学法律的模态特征，使他们能够解释。

不陈旧的是，许多哲学家以挑战兰格的提案，这些提案让人想起鲑鱼如何反对Hempel的演绎鉴别账户（Pincock 2015A，Reutlinger 2017b，Saatsi 2018）。例如，蔓越和Povich对象认为，在没有对解释的因果约束的情况下，Lange的建议缺乏任何合适的世俗基础，因此将某些目标的陈述算是解释性的太多表示（Craver＆Povich 2017，Lange 2018A）。作为一般来说，作为一个机制，蔓越师似乎倾向于解散非因果数学解释的可能性（蔓越2014）。他的共同作者Povich为这些案件提供了更具建设性的提案，允许与各种世俗或诺比基的解释（Povich 2020,2021）。 Povich部署了用于处理非因果解释的新共识的内容的版本：如果提出的解释涉及正确的方法，那么它是合法的（伍德沃德2018，大米2021）。但是，尚未就解释（参见这种方法的一些反对意见），尚未就什么类型的反应性测试进行协议。

一种选择是对治疗某些情况的法律来处理数学索赔，并且只要它允许我们评估一系列反事实方案，就可以用解释性信用数学。这是Reutlinger的建议，该提案故意宽松地宽松的要求（Reutlinger 2016,2017，2018，Reutlinger，Colyvan＆Krzyzanowska 2022）。例如，在Königsberg箱的桥梁中，数学要求表明，在不存在一些实际桥的反事实情况下，桥梁的电路是可能的。 Reutlinger得出结论，数学索赔如此解释了实际世界在实际世界中发生了什么，这表明有什么对感兴趣的特征产生差异。但可以说，这种方法太自由了。假设我们问我们为什么

邮票。这是一个数学真相

，

所以我们可以安排我们的邮票

数组。所以，如果我们不能安排我们的邮票

阵列，然后我们就没有

邮票。但真相

没有解释我们为什么

邮票。

另一种选择是处理像原因的数学索赔。然后，当假定这种索赔的“反数数学”是假风的索赔将是解释的，这对有问题的目标进行了差异。这种反复数学涉及不可能的世界必要的真理出现错误。这是Povich需要的选项（Povich 2020,2021）。

（本章完）