数学解释（四）
有趣的是，辩论中的两个职位都假定了数学证明可以是三角形的（Mancosu＆Mugnai 2023）。 历史发展已在曼思科1996年和2000年的甘蔗。
这里更重要的是要欣赏，基本的直觉 - 解释性和非解释性示威之间的对比 - 具有漫长而成功的历史，这些历史影响了大约在十七世纪之外的数学和哲学发展。 例如，Mancosu 1999显示了十九世纪的两个主要数学哲学家的Bolzano和Cournot，使数学哲学的核心问题解释为算法的解释与非 - 探索演示。 在Bolzano的情况下，这采用了格隆（地面）和叶片理论的形式（后果）。 Kitcher 1975是第一个阅读Bolzano的博士，如数学解释理论（见近期捐款的Betti 2010和Roski 2017）。 在法律节的情况下，这就是“煽动雷尼克莱”与“歌舞率”之间的反对（见Cournot 1851）而拼写出来。 在博尔扎诺的情况下，目的是提供分析和几何部分的重建，使得博览会仅使用“解释性”证据，也导致了主要的数学结果，例如他纯粹的中间值定理的分析证明。
总而言之，我们还应该指出，在包括轧机，洛卡托斯，拉塞尔和哥伦德尔的数学中，还有另一种思考解释的传统。 这些作者通过数学（和/或其基金会）的概念，作为伪劣性的性质，这导致它们在科学中发生的解释假设（参见Mancosu 2001，以便将数学活动解释为类比细节）。 与电感有关的是Cellucci 2008,201,208,2017，它强调了数学解释和发现之间的联系。
2.2数学解释模型
从上文来看，应该显而易见的是，哲学家和数学家都呼吁数学内解释的概念，并且在出现这种解释活动的不同环境中，证明发挥了特殊作用。 但是什么区分了一个没有的证据？ 如何在提供解释性证据的情况下进行账户？ 这是两种可能出现的可能性。 一方面，人们可以遵循自上而下的方法，其中一个人从一个常规的解释证明模型开始，然后尝试看看它对练习的账户有多好。 另一方面，人们可以通过尽可能避免对特定理论框架的任何承诺开始的自下而上的方法。 只有之后，只有一次尝试提供经常性类型的数学解释证据，并试图看看这些模式是否是异构的，也可以提供异构的，或者可以在一般账户中括起来。
自下而上方法的支持者包括Hafner和Mancosu（2005），Mancosu（2008）和Lange（2015B，2015C，2017,2018B）。 可能是他们调查的主要特征是考虑的极其丰富和各种各样的例子; 精确凭借这种品种，Lange辩称，没有一般图案表征解释性证据; 最多可以声称有不同的解释性证据。 Lange提出了数学定理的几个突出特征，其中（在不同的上下文中）负责（在这些上下文中），以区分解释性和非解释性证据。 其中，他讨论了广泛的对称性和简单性。 至于简单起见，它将验证简单结果证明“利用设置的一些类似，简单的特征”（参见Lange 2017,257）。 至于对称性，它是在处理某些醒目对称的数学结果时出现的属性：对于计算为解释性的证据，需要展示在问题建立中的类似对称性中的这种对称性。 Lange通过使用从概率，实际分析，数字理论，复杂数和几何形状的案例研究来捍卫这些属性，以及数学领域。 最具代表性的（参见Lange 2017,239-242）是D'Albertt的定理证明，在变量X中的N-Th度的多项式方程中的效果和仅具有真实系数的效果，始终进入对（任何非实根及其复杂的缀合物都均为方程式）。 什么解释了这个对称性？ 代数操纵可以给出一个非解释性证据，但这并没有揭示结果的原因，根据奇格，这是复杂算术的公理在I for -i的替代下是不变的。 Bueno和Vivanco（2019）指出，目前尚不清楚为什么Lange隔离物作为证明的对称特征（这使得它解释为解释）是一个对称性的。 他们建议，此证明打开相关结构的适当特征。
自下而上方法的其他实例可以在PASEAU（2010），Arana＆Mancosu（2012），Colyvan，Cusberg＆McQueen（2018），D'Alessandro（2021）和Ryan（2021）中找到。 每篇文章都考虑了数学实践的一个方面，并试图以自己的方式解决。
自上而下的方法从一般的数学解释理论开始，然后探索实践适合模型的程度。 在数学解释中的自上而下方法的典型例子是Kitcher的统一理论，如下所述。 但是，也可以将这些描述应用于关于解释性质的总体观点。 虽然有几个例子可以提及，但在这里我们提出了一个有影响力的提案，在Kim（1994）中找到了它的起源。 为了对科学解释的不同账户进行分类，金利使用“解释性内部主义”和“解释性外国主义之间的对比”。而“解释性内部主义”的解释是对认知语料库（理论或信仰的理论或一组）内部的活动。解释性外科医学师“将寻找一些解释轨道或可以识别的客观依赖关系的一些系统模式。 我们将目前部分分为三个遵循这一部门的小部分：一个将致力于向外科医生的介绍，或ontic，解释性数学证明的账户，而另一个对内部家或认识症的账户。 在外部主义账户中，我们将讨论施泰纳的理论，数学解释的几种反事理论，以及其他一些提案。 在内部主义账户中，我们将与Frans（2021）和Inglis＆Mejía-Ramos（2019年）提出的两种新颖的人讨论Kitcher的理论。
2.2.1数学解释的外科语模型
在几个现有的当代外科外科语模型中，最古老，最着名的是Steiner的账户。 Steiner旨在找到可以表征解释证据的标准。 在讨论了几种可能的标准之后，例如抽象，一般性和可视化性，Steiner拒绝了他们所有人都赞成“解释实体的行为，其中一个人从实体的本质或性质中推断出行为”（Steiner 1978a，143）。 虽然这样的想法看起来可能会面临直观和有趣，但事实证明是非常有问题的。 首先，它导致与本质或基本财产概念相关的臭名昭着的困难; 此外，这种概念风险在数学上下文中几乎没有牵引，因为所有数学真理都被认为是必要的。 因此，而不是谈论“本质”，“威尔·斯坦纳谈到”表征属性“，他意味着”对这种实体或结构的家庭或结构域中的给定实体或结构具有独有的属性“，其中他将一个家庭的概念视为未定义的。 换句话说，对于Steiner，解释性和非解释性证据之间的差异位于特征性质中，该特性仅在前者中发现而不是后者。 但是，这并非全部：也需要更广泛的解释证明。 在这种证据中改变相关特征（并因此特征属性）需要产生一系列相应定理的，这些定理被证明 - 并通过原始证明的“变形”阵列进行解释。
对施泰纳的账户有两种广泛的关键讨论。 第一个由Resnik和Kushner（1987）提供，他们认为解释性和非解释性证据之间的区别是依赖的。 第二个，它还为基于实际分析的解释的情况提供了对该理论的反例，这是由哈夫纳和曼科苏（2005）开发的真实分析的解释。 还有人试图改善施泰纳的模型。 Weber和Verhoeven（2002）开发的工作可以例如被视为一种改善Steiner的变形概念。 实际上，斯坦纳建议解释涉及一系列相关证据和定理，尽管保持每个证据是个别定理，Weber和Verhoeven（2002）的解释，从造成的证据 - P1和P2算作解释性。 特别是，他们专注于解释原因，而某一类对象
x
�
有一个财产
q
�
（证明p1），另一类对象
y
�
享受物业Q'（证明P2）。 这里P1和P2使用相同的公理和相同的逻辑规则，但是P1使用表征属性
x
�
，但不是
y
�
，P2使用特征属性
y
�
，但不是
x
�
。 萨莱德省（2017年）提出了一项丰富斯坦耶账户的最终尝试，他们试图将这种方法调整到内部主义观点，就第2.2.2节讨论的排序。
在因果解释领域，占主导地位的观点已以反事实术语制定。 虽然在使用反事实方面存在抵抗抵抗数学的解释（见Lange 2017,88,2022），但许多作者采用这种方法，也许是由于统一解释理论的吸引力，这两者都承担了两者因果关系和非因果语境。
根据反事实账户，评估是否是数学事实
f
�
解释另一个数学事实
g
�
归结为以下两个反事实的评估：
cf1：
如果
f
�
没有这种情况，
g
�
没有这种情况，
cf2：
如果
g
�
没有这种情况，
f
�
没有这种情况。
第一个反事实，CF1需要真实：它直接占了与之间关系的解释力
f
�
和
g
�
。 相比之下，第二个反事实，CF2需要是假的，因为它有助于确保之间的关系
f
�
和
g
�
是不对称的，即，它表明它不是这种情况
g
�
介绍
f
�
。
一旦指定了反事实，反事实的理论需要明确采取了反应性的具体条件。 这里（至少）两种选择自然出现。 一方面，可以使用可能的世界语义来评估反事实; 例如，刘易斯的基于近距离的语义，用于数学反事实（参见Lewis 1973和Stalnaker 1968），避免了这些琐事（参见例如Nolan 2001和牧师2002）。 这一扩展名为可能和不可能的单词，可用于评估反事实CF1和CF2的真实值。 另一方面，人们还可以尝试调整结构方程建模的标准工具（参见PEARL 2000）以评估CF1和CF2的真值。 在这种情况下，根据它们所代表的命令是否是真或假的命令，将数学事实解释为可以占用值1或值0的变量。 而那个表示的变量
f
�
是一个外源性变量 - 它的值由模型之外的因素决定 - 表示的变量
g
�
是内源性的 - 它的值由其他变量的值确定我们的案例
f
�
。 为了测试反事实CF1是否为真，需要介入分配给的变量的值
f
�
并检查此更改是否会影响分配给的变量的值
g
�
。 至于CF2的真实值，其虚假，因此解释性关系所需的不对称性建立在内源性变量的性质中。
reutlinger等。 （2022）和Baron等人。 （2020）支持在可能的世界语义框架中主要讨论的反事实说明。 更准确地说，而Reutlinger等人。 捍卫蒙斯特解释理论的价值，Baron等人。 （2020）举例说明了具有实际解释证明的法学解释的反事实方法。
Gijsbers（2017）制定了依赖于结构方程框架的解释性证据的反事实说明，但在数学上下文中不能使用“干预”àLoomward（2003）的概念。 随着Woodward强调，干预是对变量的值的因果变化。 相反，Gijsbers介绍了“准干预主义”的数学解释理论的想法：在这个理论中，准干预措施揭示了不在数学证据中固有的不对称性，而是在数学实践中（见Gijsbers，2017,59）。 换句话说，不对称不再占据了一个目标，而是以更具主观的方式与所讨论的实践的特征联系起来。
在某种程义上，Gijsbers的模型与Frans和Weber（2014年）提出的那个互补。 实际上，虽然Gijsbers占了反事实术语中证明的解释性，但不使用干预的概念，弗兰斯和Weber占据了解解释性的解释性的解释，即直接概括伍德沃德的干预的概念。
使用反事实来模拟数学解释已经受到Kasirzadeh（2021）和Lange（2022）的批评。 虽然Kasirzadeh在数学上下文中可以有意义地改变解释性证据的解释者是否有意义，但由于反事实账户需要，而Lange争辩说，反事实账户相当受到太多非琐碎真实的威胁对策。 Kasirzadeh和Lange都强调，回答什么的能力 - 有关的事情 - 不同的问题与数学中的解释性不相关。 最后，请注意，也可以在jansson（2018）中，可能会发现对使用结构方程式框架来模拟因果关系以外的模型依赖关系的批判，因此可以说也可以在数学上下文中依赖关系。
并非所有数学解释模型都是施泰纳理论的修改或以反事实术语传达。 Pincock（2015B）例如，提议将证明作为解释为解释，而当它调用更多抽象的实体，而不是它所证明的定理的主题。 Wilhelm（2021）和Poggiolesi（即将到来）包含不同的提案，用于分析汉克群方法的视角相似的解释性证据。 在他们的情况下，确定不同证据的解释性力需要在逻辑系统中的证据形式化。 虽然对于Wilhelm来说，证据的解释性来自形式化证据的简单性和深度之间的平衡，Poggiolesi与非解释性的解释性证据区别于仅在（正式的版本）中可以证明这一点从假设到定理的假设增加了概念复杂性，证明旨在建立。
2.2.2数学解释的内部模型
在1974年的论文中，弗里德曼对科学的任何连贯叙述构成了挑战，因此可能也是数学，解释：他认为任何此类帐户都需要展示解释如何产生理解。 “我没有看到科学哲学家如何能够忽视这种概念，以”了解“和”了解解释理论“（Friedman 1974,8）。 虽然外科医生或ontic，但账户与弗里德曼的挑战直接关注，他们不会否认解释和理解之间的联系。 但是，它们根本不会像解释的定义特征就没有姿势理解。 相比之下，内心或认识，账户是直接解决这一挑战的人。
在科学哲学中，科学理解的主要概念之一是统一性模式，该模型认为，解释通过统一不同现象提供理解。 虽然这个想法无疑是直观的吸引力，但关键问题是可以更准确地做出统一的概念，以便我们可以区分解释是什么，而不是。 弗里德曼（1974年）是一种早期尝试这样做，尽管他的制定迅速显示出患有几个技术问题（参见Kitcher 1976）。 另一方面，厨房是统一方法的主要支持者。 他的提案在提出统一时，在减少统一作为在解释的现象数量尽可能全面提供解释时使用的参数模式的减少：
了解该现象并不简单地减少“基本罪名义务”，而是看到连接，普通模式，最初似乎是不同的情况。 在这里，从前提结论对的概念的开关证明了至关重要。 科学通过向我们展示许多现象的描述，通过一次又一次地使用相同的推导模式来推导我们对大自然的理解，并且在演示这方面，它教导了我们如何减少我们必须接受终极（或BRUS）的事实类型的数量。 因此，统一的标准我将尝试表达将基于E（k）是一组衍生的想法，这使得最大限度地减少所采用的推导模式的数量和最大化所产生的结论的数量之间的最佳权衡。 （Kitcher 1989,432）
让我们让这有点正式。 让我们从一套信仰开始，假设是一致的和减扣性关闭的（非正式地认为这可以将其视为一个理想的科学界在特定时刻批准的一系列陈述; Kitcher 1981,75）。 K的系统化是从K的其他句子中导出k中的一些句子的任何参数。通过k，e（k）的解释性店是K的最佳系统化是K的最佳系统化（厨房通过声称E（k）是唯一的理想化，e（k）是唯一的）。 对应于不同的Systemazations，我们有不同程度的统一。 最高程度的统一是由e（k）给出。 但根据哪种标准，系统化可以被评判是最好的？ 有三个因素：模式的数量，模式的严格性，以及从统一中导出的一组后果。
在谈到Kitcher的提议时，两名言论是令人责任的。 首先，他对理论统一的说法主要是为科学解释的一般问题思考，尽管他认为其观点是与数学伸展的观点之一。 其次，Kitcher的型号并不意味着解决了与不解释的解释性证据的本地问题（作为所有其他账户）; 它宁愿为全球性问题提供一种新颖的视角，如何系统化具有解释性值的全部知识体系。 Kitcher模型在两个相反的方向上探讨了解释性证据的应用。 一方面，Hafner和Mancosu（2008）测试了Kitcher的模型，具有三种不同的方法来证明关于真正的封闭领域的定理（见BrumFiel 1979）; 作者表明，该模型对这些方法的解释能力进行了预测，这与来自数学实践的判断相矛盾（另见Pincock 2015b）。 另一方面，弗兰斯（2021）不仅重新评估了统一的理解的价值，这是数学的解释性理解; 此外，他通过一种不同的例子显示，从Pythagoras的定理到定理，指出了第一个n整数的总和等于n（n + 1）/ 2，该证据可以有助于统一的理解。
