数学解释（三）
在前提下，重点是1'的解释当然是符合奎琳的军备过程。 例如，我们选择蝉的理论，最能解释他们的性格。 如果我们然后锻炼了这个理论的最佳团制，我们会发现它会导致这个素数存在。 然后，所有前提是1'维护，那么，无论这些本体论承诺如何都应该赞同。 然而，可以获得第二种支持前提的方法：人们可以吸引最佳解释和使用，以支持对像电子等不可观察的实体的科学真实性的推动。 面包师有时会使他不可或缺的辩论对科学的现实主义的吸引力：“科学现实职务的一个关键的木板涉及最佳解释（IBE）的推理，以证明在特定的不可观察的理论实体的案件中的秘密。如果双方都认真地采取IBE，则不可缺少的辩论只会取消地面，这表明解释在本次辩论中具有重要意义”（面包师2005,225）。 对IBE的呼吁通过指导我们注意一些解释性目标来避免军队的军团进程，例如蝉一些物种的生命周期的长度。 如果我们是科学的现实主义者，那么我们接受IBE的使用，以支持我们对各种实体存在的主张。 因此，如果我们发现最好的解释还包括像素数等抽象对象，那么我们也应该接受他们的存在。
关于这种解释性不可或缺的争论的三个担忧可以效果富有效果。 首先担心的是，论证是以某种方式通知，乞求问题或者未能正确地确定我们对数学实体存在的知识的基础。 这一点是由Steiner于1978年强行呈现。Steiner为存在数学解释的存在，并且还声称了解抽象，数学实体的存在。 但是，“没有解释性论点可以建立数学实体的存在”（1978B，20）。 这个原因归因于MorgenBesser：“我们不能说出没有数字的世界就是什么，因为描述了任何思想的经验（除了彻底空虚）预设了他们的存在”（1978B，19-20）。 这一点似乎是我们必须能够比较一些目标的数学和非数学解释，以便获得解释性的论点。 但是，如果目标总是“推出”存在一些数学实体的存在，那么这种比较是不可能的。 BAGU已经通过注意到讨论的案例有多少是数学的特征，与CICADAS的主要阶段（BAGU 2008,2012，参见Baker 2021A进行响应的响应的票据）的目标。 因此，如果我们使用数学实体表征目标现象，则担心仍在继续，数学解释仅在科学中是不可或缺的。 PINCOCK有一些类似的问题：如果目标是数学术语弱，则只需要薄弱的数学理论来解释这些目标，并且这些理论可以很容易地提供保留这些理论的原理解释（Pincock 2012，见贝克2015B回复这些担忧）。
另一个担心接受了在某种程度上存在科学的数学解释。 但是，前提是2'被拒绝，因为这些解释不能涉及任何数学对象的存在。 Saatsi通过声称数学仅通过代表物理世界的一些非数学特征来解释（Saatsi 2007,2011）来制定了这种批评。 在这种阅读中，前提是2'需要存在一些“独特”或“真正”的数学解释，但没有这样的解释。 随着Saatsi的担忧，“对于不可或缺的辩论来说，真正重要 - 这一切都很重要！ - 是数学是否扮演了我们应该在本地犯下的解释性作用“（Saatsi 2016,1051）。 直到论证的辩护者澄清了什么明显的数学解释以及它们如何涉及数学对象，似乎是2'遇到麻烦。 这些异议的其他版本可以在Daly＆Langford 2009，Rizza 2011，Hittant 2013，Liggins 2016，2016年Busch＆Morrison 2016，禁止2019年和Boyce 2021（参见Panza＆Sereni 2016年有用的概述这些辩论）。
关于前提2'的第三种担心是由Yablo和Leng这样的数学虚构主义者开发的（Leng 2010,2021，Yablo 2012,2020）。 虚构主义者接受截然不同的数学解释的存在，但是争论这些解释不会预先存在任何数学对象的存在。 例如，Leng认为，“我们可以生成对物理现象的数学解释，这些物理现象不会吸引任何抽象的数学对象，而是只需要逻辑从我们的数学假设逻辑上遵循的模态真理，以及识别我们的假设当被解释为关于考试的物理系统时，数学理论是真实的”（LENG 2021,10437）。 因此，LEGE可以赞同面包师蝉的特征的相同统一推导，但避免接受数学对象的存在。 虽然Saatsi将系统的物理特征成为真正的解释者，但却使用相同的功能来解释正在做出解释性工作的数学理论。 无论哪种方式，Indispensability参数的前提是2'出错了。
科尔维曼和贝克的支持前提策略在很大程度上涉及案例，似乎数学对象在解释中发挥作用，这些原因是类似于电子在其他解释中的不可观察的实体的角色。 例如，在Cicada案例中，素数提供了解释目标的统一推导。 这种策略将对数学解释的代表性方法最有效。 基本思想是科学家重视这些解释，因此在非数学术语风险中对他们的任何重新诠释，在一些合法的科学实践中享有无动于衷的哲学理论。 正如贝克和科尔比克在戴利和兰福德（2009年）的回复中所说的那一点：“对名义主义的哲学理论的承诺，解释的因果理论，或”索引“的数学应用程序的观点不是很好的理由拒绝支持良好的科学和数学索赔”（Baker＆Colyvan 2011,332）。
科尔维曼追求的第二次策略是挑战批评者以非数学术语重新定位这些解释。 拒绝这样做涉及一个“轻松的道路”到名义主义，Colyvan认为是站不住脚的：“当一些语言正在提供解释时，必须用字面意思解释那种语言或者有问题语言的非文字阅读代理真实解释”（科尔比万，300）。 这种策略对虚构主义者最有效。 它涉及一个科学解释的概念，要求在文字，非隐喻语言中展示每个真正的解释：说明为什么这样的事情，我们必须说实际上是什么对什么负责，因此必须原则可以避免虚构或者隐喻工具。 如果虚构主义者对纯数学是正确的，那么数学就是这样的工具，所以他们应该能够在问题上绘制一个非数学版本的解释。 虚构主义的反应是否认这种解释的概念。
另一种对前提的批评2'接受了数学解释的存在，并且这些解释涉及数学对象，而是认为这些解释可以从我们最好的科学中解除分配。 也就是说，我们的科学理论的最佳团制将避免量化数学对象或对IBE的吸引力实际上支持采用这种解释。 这种批评可以追溯到没有数字的领域的开创性科学（现场1980年）。 具有“内在”解释的现场对比“内在”解释。 他声称所有数学解释都是外在的，并且对于对某些目标的每个外本解释，存在对此非常统计的优越，内在的解释（现场1980,43-44;见Marcus 2013）。 由科尔维曼，贝克和其他人支持的解释表明，尚不清楚的是，数学解释始终是外在的或者内在的非数学解释在所有方面都是优越的。 再次考虑不可能遍历Königsberg的桥梁的不可能性的非因果解释或蝉主要期的进化解释。 虽然这些目标的一些非数学推导肯定可用，但这并不定位这些派生这些派生应该被视为解释或他们的解释性可能是什么。
也许最有希望的前提下的前提2'是提供了一个积极的陈述，这将阐明澄清这些解释如何履行某些数学对象的情况。 最近关于这个问题的文献似乎导致了一种宿舍。 例如，考虑这些解释的Baron的“Pythagorean”建议（Baron即将到来）。 巴伦定义了一个蟒蛇，成为一个不仅相信数学对象作为抽象实体的人，而且声称这些抽象实体的一些内在特性也被混凝土实体所拥有。 这是可能的，因为数学实体的突出本质性质是在混凝土实体布置在正确的结构中的混凝土世界中的结构性。 因此，这些共享，结构性及其必要的数学关系使数学真理能够解释诸如桥梁或蝉的物理系统的特征。 此外，Baron很明显，“我的账户上的结构性属性是不可或缺的抽象对象的参考”（Baron即将到来，25）。 所以一个前提的一个辩护2'涉及采用Baron的毕替马斯主义。
其他数学解释的其他账户支持拒绝前提2'。 例如，Lange对独特的数学解释的模态解释使他能够赞同他在特殊的抽象财产方面赞同他称之为纯数学的解释，而无需追索任何抽象物品（Lange 2021B，另见富兰克林2008）。 根据Lange，对数学真理解释力的最佳方式是假设“数学涉及物理系统所拥有的数学特性”（Lange 2021b，50）。 与Baron一样，这些数学属性可以帮助解释为什么这些物理系统具有一些其他属性。 对于Lange这样的亚里士多州解释的主要好处是，物理系统的突出模态特征来自数学特性的存在。 这有助于阐明在某些目标属性之前，它调用的数学真理和其调用的属性可以解释。 但是，对于Lange来说，这种对纯数学的解释消除了调用抽象对象的需要。 如果Lange是对的，那么，解释性不可缺少的前提下的前提是错误的。 （另请参阅知识＆Saatsi 2021，Knowles 2021A，Knowles 2021B和Baker 2022对此之前的额外挑战。）
一个诊断不可或缺的争论的问题是，该论点的结论涉及纯数学的解释，而论证的场所考虑如何在科学中使用数学。 也许，然后，通过专注于在纯数学实践中产生的解释性考虑，更好地服务柏金代码。 这是第2节的重点。
2.数学中的数学解释
除了建立某种定理是真实的影响之外，数学活动是由因素驱动的。 在许多情况下，仅仅知道数学事实持有并责备它，数学家也不纠正，同时还声称对新证明的解释性效益。 这种类型的解释性活动出现在数学本身（见前导码），因此常常谈到“内部”或“数学内部解释”（Baron，Colyvan＆Ripley 2020，Betti 2010，Mancosu 2008）。 “内部数学解释”的表达涵盖了广泛的不同现象：内部数学解释可以达到整个数学领域的重铸，或者它可能旨在为特定定理提供解释性证据。 在D'Alessandro（2020），Hafner和Mancosu（2005），Lange（2018B）和Sandborg（1997，Ch。1）中已经调查了这些数学解释活动的各种。
在这些不同的解释性活动中，大多数关注都集中在证明，这不仅证明了定理是真实的，而且还表明了为什么这是真的。 虽然可能没有关于特定情况的协议，但许多数学家通常声称某些证据具有解释性，而其他证明则没有。 这些索赔在整个数学历史和数学哲学中都有发现（参见Lange 2015C，2016,2017（Ch.7-9）和Mancosu 2001）。 用伯爵的话：
许多定理可以给出不同的演示。 最有意义的是让人们了解一个人建立的结果的深刻原因。 （Bouligand，1932,6，Mancosu的翻译）
并且真正的代数Geometer Gregory Brumfiel在真正的代数几何形状中发现了两种不同类型的样张之间的缺点对比，即他称之为超凡迹证明（即，基于转移的证明从特定真实封闭领域的真实性从其真实的真实字段推断出对所有真实封闭领域的陈述的真理，例如，真实数字）与所有真正的封闭字段统一的证明类型。 第一种类型的证据被Brumfiel拒绝，作为非解释性，并且相比之下，后者提供了解释性益处。 用他的话说：
在本书中，我们绝对和明确地拒绝拒绝拒绝此类[...]类型[超现实证明]。 每个结果都是针对所有真正的封闭地面均匀证明的。 我们对超越证据的哲学异议是他们可能逻辑上证明了结果，但除了实际数量的特殊情况外，它们不会解释它。 （Brumfiel 1979,166）
作为前面的例子表明，解释性证据可能是几种类型，并以不同的方式解释。 最近的辩论专注于归纳是否是解释性的问题。 一方面，Lange（2010）认为，归纳证明不是解释性的。 他的论点依赖于从固定数k的向上和向下诱导的形式使用，具有k。 根据Lange的说法，如果普通数学诱导的证据是说明性的，所以通过从固定数k上向上和向下感应的证据，k≥1。 但是，如果是，那么解释的典型不对称性，也没有遵守数学解释的解释：对于某个特征P，P（1）是P（k）和p（k）的解释的一部分是p（1）的解释的一部分。 Baker（2009B）通过通过向上和向下归纳的普通数学诱导和证据来争论证明和证明之间的解释性等价来拒绝Lange的论点。 Hoeltje等。 （2013）拒绝他们认为在Lange的论点中的未经承认的假设，即普遍句子解释了其实例。 Dougherty（2017）的攻击线是基于Lange的需要预先假定证据的身份问题，他使用两个等同的特征使用替代标准的替代标准（第一次吸引语言）同型型理论和第二种使用代数代表对证据）。 Baldwin（2016）和Lehet（2019）捍卫数学中诱导的解释性：虽然Baldwin提供了积极的考虑因素，即归纳争论是解释性的，Lehet住在归纳定义上 - 她认为 - 可能是数学解释的案例。
解释性和非解释性证据之间的区别也应用于其他类型的证据，例如通过使用图表解释的证据（参见D'Alessandro 2020，Brown 1997）或通过绘制类比解释的证据（见Lange 2017）。 显着的哲学活动专注于通过揭示原因或理由来解释的那些证明，为什么定理是真实的。 正如Lange（2021C）的压力，在这方面，“地面”一词不应被理解为与最近的形而上学接地的文献相连（例如，见Correia和Schnieder（2002））。 我们应该想到“概念基础”的概念，如例如， 史密森（2020）。 这个地面的概念在哲学家和博尔扎诺等数学家中有一个杰出的血统（如博尔扎诺（参见Kitcher 1975，Mancosu 1999和Sebestik 1992）或法庭（见Mancosu 1999），最近的贡献强调其在数学领域的价值（参见Betti 2010，Detlefsen 1988，Jansson 2017，Pincock 2015b，Poggiolesi和Genco 2023）。 实际上，正如在科学文献中，广泛接受了因果解释，追踪世界上的因果关系，并通过揭示某种事实持有的原因来解释，这似乎是合理的，接受（至少某些）数学解释证明跟踪接地在数学领域的关系，从而解释了为什么定理是真实的理由或原因。
2.1一些历史评论
由于分析哲学对数学解释研究的贡献仅对Steiner 1978a进行了回报，因此可能怀疑该话题是科学理论的奎黑概念的副产品（参见Resnik＆Kushner，1987，154）。 一旦数学和自然科学被放置在同一个基础上，就可以将统一的方法应用于两个地区。 因此，在自然科学中寻找数学的解释是有意义的。 然而，这一历史性重建将被误解。 数学事实的数学解释是自亚里士多德以来的哲学反映的一部分。 我们已经在第1.1节中见过亚里士多德的区分亚里士多德在演示之间“的事实”与道德“的”原因“的演示之间。 两者都是逻辑上严格的，但只有后者只提供对结果的解释。 亚里士多德还声称，数学中出现了“已推理的事实”的示威活动。 只有这些示范只能称为“解释性”演示，其中一些示威活动将是数学证据。
亚里士多德对数学解释证明的立场已经在古代挑战。 在他的“关于欧几里德第一章的评论中的评论”中，向我们通知我们这一点。 他报告说：“很多人认为几何没有调查原因，即不会问”为什么？“（Proclus 1970,158-159;在数学解释上的更多信息，请参阅Harari 2008）。 Proclus自己单挑了在欧几里德的“元素”中的某些命题，例如I.32，不是作为所造事实的示威“。 EuclID I.32表示三角形的内部角度的总和等于两个直角。 如果在亚里士多特的科学的三段论中给出了示范，则中势的中间将不得不为事实提供“原因”。 但Proclus认为，欧几里德的证据不符合这些亚里士多德的限制，对于辅助线和外角的吸引力不是“因果”：
所谓的“证明”我们有时有时有能够建立通过定义所寻求的示范作为中间条款的商品的属性，这是完美的示范形式; 但有时它试图通过迹象证明。 这一点不应该被忽视。 虽然几何命题总是从调查下的事项中获得了必要性，但他们并不总是通过证明方法达成其结果。 例如，当[来自]三角形的外角等于两个相对的内部角度时，示出了三角形的内部角度的和等于两个直角，这可以基于原因调用演示？ 不是这里仅作为标志使用的中期术语？ 即使没有外角，内部角度也等于两根直角; 因为它是一个三角形，即使它的侧没有延伸。 （Proclus 1970,161-2）
此外，Proclus还认为，通过矛盾的证据并不是“所造事实”的示范。 的再现的保格斯在文艺复兴时期的是引发一个深远的辩论的因果关系的数学示威所述的以上的quaestio的certitudine mathematicarum（见1.1节欲了解更多关于这一辩论）。 第一次拍摄于1547年由Alessandro Piccolomini发射。Piccolomini的目的是解除传统索赔，以使数学因其在亚里士多特的意义上使用“科学示威”（这样的证据）被称为文艺复兴时期的“Potissimae”）。 由于“Potissimae”示威活动必须是因果的，Piccolomini通过争论数学示威不是因果的争论来袭击了论点。 这导致了文艺复兴时期最有趣的认识论之一和十七世纪。 否认数学示范的“因果关系”（Piccolomini，Pereyra，Gassendi等）通过提供来自数学实践的具体示范的具体示例（通常来自欧几克里德元素），他们声称，他们不能重建为因果亚里士多菜的理性。 相比之下，希望将“因果关系”恢复到数学的人，旨在表明所谓的反例可以很容易地容纳在“因果”示范（Clavius，Barrow等）的领域内。
