数学风格（一）
这篇论文始于二十世纪初以来的“数学风格”的主要背景的分类。 其中包括在数学的比较文化历史中使用风格的概念，在表征民族风格以及描述数学实践时。 然后，这些发展与自然科学历史和哲学的风格更熟悉的待遇有关，其中一个人区分“本地”和“方法论”风格。 人们认为，数学中“风格”的自然轨迹落在“当地”和“科学哲学家”中描述的“本地”和“方法论”风格。 最后，由于黑客和格兰杰，本文的最后一部分审查了数学中的一些主要账户，并探讨了他们的认识论和本体论的影响。
1.简介
2.作为比较文化历史中的中央概念的风格
3.数学中的民族风格
数学家风格
5.风格的轨迹
6.迈向风格的认识论
7.结论
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.简介
本文的目标是调查和分析数学历史和哲学风格的文献。 特别是，如何在数学中哲学接近“风格”概念的问题将在结束时得到解决。 虽然这不是数学哲学中的规范主题之一，但演示文稿将利用关于风格在科学历史和哲学中的相关讨论。
在风格方面谈到数学是一种足够的现象。 一个人在第十七世纪早期已经遇到了对数学中的传感器特征的吸引力。 例如，Bonaventura cavalieri早在1635年与Archimedean风格对比他的独资主义者技巧：
事实上，上面提到的所有事情[骑士者自己的定理，可以减少到阿基米德风格的所有事情。 （在原始拉丁语中：“Scio Autem Prafata Omnia Ad Stylum Archimedeum Reduci Posse。”（Cavalieri 1635,235））。
在本世纪晚些时候，可以更轻松地找到示例。 例如，Leibniz（1701,270-71）写道：“分析与Archimedes的风格不同，除了更直接和更适合发现艺术的表达式”（法语：“L'分析NeDiffèredu风格d'ArchimèdeQue Dans Les表达式，Qui Sont Plus Directes et Plus符合àl'Artd'Inventer”）。 这是一个有趣的事实，即这种发生在绘画中概括使用风格概念的广泛使用，只有1660年代（零星事件，如Sauerländer1983所指出的，也在十六世纪）。 在十七世纪之前，绘画中的选择词是“Manière”（见Panofsky 1924;英语翻译（1968,240））。 以下是来自第十九和二十世纪的几个例子。 他的Aperçutulitique（1837年）关于Monge说：
他开始了一种新的写作方式和谈论这科学。 实际上，风格如此紧密地焊接到它必须在步骤中推进的方法的精神; 同样，如果它预期了，则风格必须是对它的强大影响以及科学的一般进步。 （追逐，1837，§18,207）
另一个例子来自Edward对Defeekind对数学方法的评估：
克朗克克的辉煌是不怀疑的。 如果他有十分之一的奉献精神的制定和表达他的想法，他对数学的贡献可能比Dedekind的贡献更大。 然而，由于他的辉煌，大部分地与他一起死亡。 另一方面，Dedekind的遗产不仅包括重要定理，例子和概念，而且是整个数学的风格，这是每次连续一代的灵感。 （Edwards 1980,20）
显然，人们可以堆叠同类的报价（参见其他人，Cohen 1992，De Gandt 1986，Dhombres 1993，Epple 1997，Ferreirós和Reck 2020，Fleckenstein 1955，Granger 2003，Høyrup2005，Laugwitz 1993，Novy 1981，Reck 2009，Tappenden 2005，Weiss 1939，Wisan 1981）但这并不是很有趣。 即使在数学风格中，从“个人风格”到“全国风格”到“认识样式”等。 所需要的是，首先了解对数学中的“风格”发生吸引力的主要背景，虽然这篇文章不会包含对“个人风格”的讨论（这样的例子包括，但遵循Enrico Bombieri的建议，“非常个人”欧拉，ramanujan，riemann，serre和a. weil的风格。
在许多情况下，对风格概念的呼吁被认为是从美术借来的，并且一些案件将立即讨论。 哈伍伍德1993声称“设计了风格的概念，以便在艺术研究中观察到的文化模式”。 令人思想地，1991年谈到“将这种概念转移到”科学史“（265）。 虽然这可能是二十世纪的真实（参见KWA 2012），但请记住，如上所述，这项索赔必须在第十七世纪获得资格。
2.作为比较文化历史中的中央概念的风格
尽管先前的警告，但事实上，一些重大的二十世纪上诉数学的风格类别已经参考了本领域。 这尤其如此，这些作者是以统一的方式为人类的文化制作而受到统一的作者，尤其是科学和艺术生产过程的统一性。 正是在这些背景下，奥斯瓦尔德·斯明普勒在西部（1919年，1921年）试图形成世界历史的形态，并声称数学史的特征在于不同的风格时期，依赖于制作它的文化：
任何成交的数学的风格都取决于它植根的文化，这是一种人类，它是普及的。 灵魂可以为科学发展带来其固有的可能性，可以实际管理它们，可以达到其对其的最高水平 - 但是改变它们是非常不可能的。 欧几里德几何形状的思想以最早的形式的古典装饰形式实现，最早形式的哥特式建筑形式的无限模沟，几个世纪以来，在第一次学习的各自文化的数学家出生之前。 （Spengler 1919,59）
不仅有数学与文化的其他艺术制作之间存在相似之处。 依靠歌德的声明，完整的数学家“在自己内心的真实的美丽”和威尔特尔特拉斯的声明“谁没有同一时间诗人永远不会成为真正的数学家”，Spengler继续以艺术为特征，是数学本身：
那么，数学是一件艺术。 因此它具有风格和风格的时期。 它不是，作为外行和哲学家（在这件事上的外行人也是如此）想象，基本上不可改变，但是像每个艺术都是从纪念到时代没有注意到的变化。 （Spengler 1919,62）
最广泛的治疗方法，建立在艺术和数学之间的平行，并利用风格的概念作为核心类别，分析数学史是最大圆阵的。 在一个题为Konturen Einer GeistesgesChichte der Mathematik（1946）的书中，致力于整整一章（CH.2）来阐明风格的概念如何适用于数学。 面向圆周风格是表格：
出于样式是形式，基本形式，我们将这种形式指定为“美学”，如果它控制分类是合理的，一种材料。 （圆周1946,118）
Bency看到了艺术史和数学史作为思想史的方面[Geistesgeschichte]。 实际上“无论人类想象力和表达能力都到达创造的地方，就会给出风格”。 圆周肯定容易在数学艺术史上的历史和款式的历史之间绘制相似之处（他特别处理他的书中的巴洛克和浪漫的风格），但他保持在反对斯运选者，艺术和数学的本质分开。 事实上，他认识到，数量主义的数学历史无法减少“在某些数学正式倾向和伟大的艺术世界观 - 精神样式的单一时期，古典主义，巴洛克式或者浪漫主义”（第132页;参见Fleckenstein 1955年和Wisan 1981，以便在第十七世纪的巴洛克式和数学之间进行更新的近距离）。 他提到了Felix Klein的“ElemanyArmathematik vomHöherenStandpunkous”，指出，某些由Klein特征的发展线可以被视为指向数学发展历史的风格（见Klein 1924,91）。
Spengler和Bency等尝试肯定会对那些希望使用风格类别作为描述的工具的理论者，也许可能会计，文化模式。 但是，他们将在数学和/或艺术史上持怀疑态度的读者留下了令人抱歉，因为通常是应该为该帐户提供证据的通常较远的差价持怀疑态度。 当然，这不是最终拒绝数学中风格类别的适当性的方法或有用性，但人们希望其用来与数学实践的各个方面更直接相关。 最近在将风格和数学中连接风格概念的尝试是van Bengemem和Van Kerkhove 2014。
通常，人们可以区分可以与此类尝试相关联的两种类型的理论。 第一个是纯粹是描述性的，或分类，并满足了一定的常见模式，如某个思想领域，例如数学和某种社会的其他文化产品之间。 第二种方法预先假定了第一个，但在占据某种风格的思想或生产的原因之后也会询问，并且通常试图将其归于心理或社会学因素。 在Spengler和Bence中，有两种元素，尽管重点在平台上比潜在的原因或解释平方的原因。
在二十世纪初，试图扩展艺术艺术概念的使用概念，比比皆是。 众所周知的案例是Mannheim的社会学尝试，以表征不同社会群体中的思想方式（Mannheim 1928）。 虽然Mannheim未排除科学思想，从知识的社会学分析的领域中，他没有积极追求这样的分析。 相比之下，Ludwik Fleck练习了对科学的社会学分析，其中“思想风格”发挥了核心作用。 然而，弗切通专注于医学（Fleck 1935）。
在这里，重要的是要指出思想风格的概念，在当代研究中受到两大不同的两种不同，这也影响了数学。 首先，弗里克有遇到的概念。 根据想要在绘制联系的慷慨程度的不同，可以看到这种思想款式的方法与Kuhn，Foucault和Hacking的后期工作有关（见下文讨论黑客攻击）。 然而，有一种不同的思考方式思考，通常以认知方式的名义。 这是认知心理学家和数学教育者感兴趣的领域（概述了这一领域的心理研究，见骑2000和Stenberg和Grigorenko 2001）。 在这里，重点是在学习，理解或思考数学中表现出某种认知风格的个人的心理化妆（即，加工和组织数学信息）。 普内加雷强调的视觉和分析数学家之间的古老区分（见Poincaré1905）仍然是图片的一部分，尽管有各种各样的型号和分类。 对于历史概述和以数学为中心的理论提案，请参阅Borromeo Ferri 2005。
在数学的历史和哲学领域，数学款式没有书籍长度陈述，解释了某种风格的出现与社会学或心理学类别（虽然Netz 1999对风格的理论人员感兴趣，但在认知历史上的尝试尝试希腊数学的重要部分。 这与自然科学历史上的书籍相反，如***1993年，其目标是通过社会学论证解释德国遗传社区的思想风格的出现。 最接近的一个帐户是Bieberbach在数学风格的概念，依赖于心理和种族因素。 他将在下一节关于民族风格的讨论。
3.数学中的民族风格
雄心勃勃的雄心勃勃，艺术和数学之间的人文文化制作或达到广场的历史上以前的尝试包括在数学史上的风格概念的情况下，没有特别参考艺术或其他人类文化活动。 如果一个人回到二十世纪的开始，一个人发现“民族风格”通常被提及，用于对特征的某些特征进行分类，表征数学生产似乎在国家线条内落下。 在科学史上，这种“民族风格”的案例经常被研究过。 一个人应该回忆起J. Harwood的科学思想书籍（1993）和纽约1986年的贡献，Maienschein 1991和Elwick 2007.对数学的案例是法国和德国数学风格的反对由Herbert Mehrtens学习。
Mehrtens（1990A，1990B，1996）在款式方面描述了“形式主义者”和“逻辑主义者”之间的数学冲突，另一方面是“直觉主义者”作为两次数学概念之间的战斗（另见Gray 2008对于迈越的迈越的方法，同时强调“现代主义”的数学转型）。 希尔伯特和Poincaré被用作反对派来源的范式，后来导致了20世纪20年代的希尔伯特 - 布鲁沃的基础辩论（关于Brouwer-Hilbert辩论的历史，看看Mancosu 1998）。 Mehrtens还指出，这一反对派并不一定沿着国家线条奔跑，例如，Klein可以像Poincaré一样靠近。 事实上，数学的某种国际主义在十九世纪末和二十世纪的早期占主导地位。 然而，WWI是改变局势并产生强烈的民族主义冲突。 “国有化”反对派的中央球员是Pierre Duhem，他们将法国人的Esprit de Finese对德国人的Esprit deGéométrie反对：
从明确的原则开始......然后逐步进步，耐心地，煞费苦心地，节奏，以极度严重的推导性逻辑学科的规则：这是德国天才所擅长的; 德国eSprit基本上是espritdegéométrie......德国人是几何，他们并不是微妙的[鳍]; 德国人完全缺乏ESPRIT de技巧。 （Duhem 1915,31-32）
Duhem旨在他的模型适用于自然科学，也适用于数学。 Kleinert 1978显示，Duhem的书籍只是法国科学家对1914年宣言“Aufruf Ane Kulturwelt”的一部分是由93名杰出德国知识分子签署的。 这导致了所谓的“Krieg der Geister”，其中德国和法国之间的极化不仅批评了利用科学的具体方式（与军事目标说明的实践科学）而且还导致科学知识的表征，基本上由国家特征确定。 事实上，这种战略基本上被法国人批评“La Science allemande”，但它将在二十年后，德国人用“Rassisch”更换“国家”。 最着名的情况是“Deutsche Physik”，但这里的焦点将在“德意志Mathematik”上（另见Segal 2003和Peckhaus 2005）。
这种意识形态对抗的最极端形式，它具有讽刺意味的是德国人和法语在Duhem使用的比较中的作用，在Ludwig Bieberbach，该所谓的“德意志的创始人”Mathematik“。 从哥廷根的数学教师从大地解雇了他的解雇开始，贝伯巴赫试图合理化为什么学生迫使Landau解雇。 在kurzreferat的谈话中，他总结了他的目标，如下：
我的考虑因素旨在通过使用几个例子来描述对我自己的科学，数学，血液和种族的人们[Volkstum]的影响力。 对于国家社会主义者来说，这当然没有证据。 它相当洞察力很明显。 对于我们所有的行动和思想，植根于血液和种族，并从他们的特殊性那里收到。 每种数学家都有这样的风格也熟悉。 （Bieberbach，1934A，235）
在1934年和1934C的两篇论文中，他声称Landau的数学是德国精神的外国。 他比较了Erhard Schmidt和Landau，并声称在第一个案例中
该系统朝向物体，结构是有机的。 相比之下，Landau的风格是外国的现实，对生命，无机。 Erhard Schmidt的风格是混凝土，直观，同时它满足所有逻辑需求。 （Bieberbach 1934b，237）
Bieberbach提出的其他重要反对派作为他的索赔的“证据”是复杂数字的高斯与Cauchy-Goursat; Poincaré与Maxwell在数学物理学中; Landau与Schmidt; 和jacobi vs. klein。
通过依靠臭名昭着的Marburg心理学家Jaensch的类型的心理，他继续反对犹太人/拉丁语和德国心理类型。 出于发言的故障线是由直觉推动的数学，典型的德国数学，据称是犹太人/拉丁数学家所支持的形式主义。 显然，Bieberbach被迫做了很多格里曼德，以确保重要的德国数学家没有最终在等式的错误方面（看他对韦尔特尔特，欧拉和希尔伯特的说法）。 这些数学差异的基础是在种族特征中发现：
在我考虑的情况下，我试图在数学活动中表明有风格的问题，因此血液和比赛在数学创作的方式下有影响力。 （Bieberbach 1934C，358-359）
在这种背景下讨论Bieberbach的原因是他的案例举例说明了在更基本的东西中强迫风格概念的尝试，例如在心理学和种族特征方面解释的国家特征。 此外，他的案例也很感兴趣，因为他的风格的方法表明，如何在扭曲的政治计划中提供这样的理论。
幸运的是，谈论数学中的国家风格不必随身携带Bieberbach中发现的所有含义。 实际上，当历史学家今天指的是他们这样做的国家风格，没有民族主义的动力，促进了较老的贡献。 相反，他们涉及描述“当地”文化如何在知识宪法中发挥作用（另见塔尔2016）。 虽然流动性和电子邮件通信的增加使民族风格变得更加艰难，但特殊的政治条件也可能有利于这种风格的持久性。 例如，这是俄罗斯人在代数几何形状和表示理论中的情况。 正如罗伯特·麦弗森所指出的那样，这个国家风格的这种情况值得更广泛的调查，研究苏联的垮台如何影响这种风格是有趣的。 相比之下，一个广泛研究的民族风格的例子是意大利风格代数几何形状。 这种情况是通过众多数学的历史学家进行了研究，特别是Aldo Brigaglia（参见Casnati等，2016）。 例如，在最近的一篇文章中，Brigaglia写道：
此外，意大利学校并不严格是国家“学校”，而是一种主要的工作方式和一种方法，主要是在意大利，而不是在意大利，而是在世界其他地方找到的代表。 （Brigaglia 2001,189）
恐慌的引用突出了试图掌握“学校”，“风格”，“方法”等之间差异的问题没有什么比1993年在他的书的第一章中所做的事情。 由于不同的作者使用不同的术语，而且可能是指同样的问题，这种情况也很复杂。 例如，最近的“数学图像”（Corry 2004A，2004B，Bottazzini和Dahan Dalmedico，2001）有很多谈话。 在最后一节中，我们将在数学上恢复历史学文献中的这些不同用途，以及如何与自然科学中的历史文学。
