数学风格（二）

数学家风格

到目前为止，讨论将界定为文化哲学家和数学历史学家的工具。 但数学家是否认识到数学中的风格存在？ 再一次，将孤立的报价又难以谈论古人的风格或抽象代数风格或分类风格。 在逻辑工作中，人们发现这种面额的风格发生在“主教风格的建设性数学”中。 难以找到的是系统概念的系统讨论。 上面提到了Bieberbach的情况，但没有作为他所提出的例子的详细讨论，作为风格差异的证据，部分原因是他的愿望如此扭曲，他为他的意识形态观点提供支持，有些人认为有些人认为一个人会通过分析来获得很多分析他的案例研究。

有趣的贡献是Claude Chevalley的一篇文章，从1935年标题为“变型Du StyleMathématique”。 Chevalley旨在理所当然地存在风格。 他开始如下：

就像文学风格一样，数学风格符合从一个历史年龄到另一个历史时代的重要波动。 毫无疑问，每个作者都拥有个人风格; 但是，人们还可以在每个历史时代通知一般倾向，这是完全识别的。 这种风格在强大的数学人物的影响下，每次偶尔都会举办一次，以便在以下时期扭转写作，并因此被认为是思想。 （Chevalley 1935,375）

然而，Chevalley没有尝试反思这里的风格的概念。 相反，他肯定是通过一个重要的例子来展示，这是两种曲线在十九世纪数学到二十世纪的方法之间的两种方式之间的转型的特征。 Chevalley描述的第一款风格是Weierstrassian风格，'ε'的风格'。 它发现它的“raison d'être”需要严格地统治远离与此类概念相关的不融合的微积分，如“无限少量”等。十九世纪的分析发展（分析功能，傅里叶系列，高斯分析'表面的理论，力学等的拉格朗日方程等）导致了一个关键分析

他们发现自己面前的代数 - 分析框架; 它来自这项批判性检查，即全新的数学风格是出现的。 （Chevalley 1935,377）

由于Weierstrass，Chevalley继续发现持续无处可差的功能，作为这场革命最重要的因素。 由于Weierstrass的功能可以在具有相当正常的外观的傅里叶膨胀方面给出，因此很明显，数学中的许多演示假设需要严格建立的闭合条件。 由Weierstrass定义的限制概念是允许此类调查的强大工具。 Weierstrass及其追随者追求的分析重建结果不仅是基本成功，而且还有数学上的成果。 这是Chevalley的特点，表征这种风格：

由于Weierstrass由于Weierstrass的限制定义的数学家的用途，可以在其着作的外观中注意到这所学校的定义。 首先，在密集的，有时不管，使用各种索引的“ε”（这就是我们在“ε”的风格中所说的原因）。 其次，在逐步的替代方立中的替代方案中的示威性等平等以及结果（近似定理;上限定理;增加理论等）。 最后一个方面将占领我们将使我们了解迫使威尔斯特拉斯人思维风格的原因。 实际上，虽然平等是对数学众生有意义的关系，但是，不等式只能应用于配备有序关系的对象，实际上仅在实数上。 以这种方式，一个被带领，以便拥抱所有分析，完全从实数和实数的功能重建。 （Chevalley 1935,378-379）

出于这种方法，也可以将复杂数量的系统作为一对实际和N维度的空间点作为真实的N组。 这给人留下了令人印象，即数学可以通过从实数开始的建设性定义统一。 然而，事情不同，Chevalley试图考虑导致一个人放弃这种“建设性”方法的原因，以支持公理方法。 各种代数理论，例如组理论的关系产生了无法从实数开始构建的关系。 此外，复杂数字的建设性定义等同于固定任意参考系统，从而赋予这些对象具有隐藏其真实性的属性。 另一方面，熟悉希尔伯特的几何结构，虽然严谨，但没有建设性理论的人工性的特征。 在这种情况下，实体不构造，而是通过公理构造。 这种方法发展为影响分析本身。 Chevalley提到了通过首先设置积分必须满足的属性而获得的Lebesgue积分理论，然后显示满足满足这些属性的对象域。 通过将其设置为特征的属性来实现相同的想法，从而达到拓扑空间的一般理论。 Chevalley提到的另一个例子是1910年的Steinitz给出的现场理论的公理化。Chevalley得出结论

理论的公理化已经修改了当代数学着作的风格。 首先，对于所获得的每个结果，一个人始终需要了解建立它所需的严格不可或缺的属性。 一个人会认真解决赋予此类结果的最小演示和该效果的问题，其中一个效果将完全分隔在其中一个人中的域名是拒绝这一领域的方法的方式，因为后者可能带来无用的引入。假设。 （Chevalley 1935,382）

此外，完全适合某些操作的域的构成允许人们在所考虑的物体上建立一般定理。 以这种方式，人们可以表征Infinitsimal分析的操作代理，但没有任何奈维特，其特征在于以前的代数方法。

Chevalley的文章是当代数学家在风格主题的珍贵来源。 他强烈地展示了十九世纪末分析的算术与二十世纪初的公正代数方法之间的差异。 但是，它有其局限性。 风格的概念不是专题化的，并且尚不清楚要解释特定历史事件的特征可能提供用于分析数学风格中其他转换的一般工具。 但是，如果有的话，如果有的话，是数学哲学家的任务（关于雪佛兰的风格方法的详细分析，参见Rabouin 2017;对于进一步的发展，专注于Bourbaki风格，见Marquis 2021）。

5.风格的轨迹

在题为“instucciónal estilo matematico”（1971）的书中（1971），西班牙哲学家javier de lorenzo试图在风格方面编写数学（肯定部分）的历史。 虽然在1971年格兰杰的工作中，在第5节中讨论，已经出现，De Lorenzo并不了解它，他使用的唯一来源是Chevalley的文章。 事实上，这本书仅仅是Chevalley的研究的延伸，包括许多在数学史上出现的“风格”。 de lorenzo研究的数学样式列表如下：

几何风格;

诗意;

齿轮风格;

笛卡尔 - 代数风格;

失业的风格;

操作风格;

epsilon风格;

几何中的合成vs分析风格;

公理风格;

形式风格。

一般建立提醒雪佛兰的方法，其中一个人会在De Lorenzo的书中寻找令人满意的陈述是什么样的风格。 确实，关于语言在确定风格中的作用，但缺少一般哲学分析，存在一些有趣的观察。 然而，关于Chevalley和De Lorenzo给出的治疗有一个重要的意义，似乎指出了在数学中使用“风格”的重要特征。

在他的论文中，“Gayon 1996”（Gayon 1996）和1999年后，Jean Gayon在科学史上的史学介绍了两个阵营之间的“风格”的不同用途（以一种方式在这里，1992年攻击了。 首先，在追求“当地科学史”的人中有“科学样式”的用法。 通常这种类型的分析侧重于“地方群体或学校”或“国家”。 例如，这种类型的历史不明解知识的普遍组成部分，并强调将实验从一个设置转换为另一个设置的困难。 这些困难被证明取决于“当地”传统，包括特定的技术和理论专业知识，它是“基本上设置，实现和分析这些实验的结果”（Corry 2004B），其中有“科学样式”“在欧洲传统中的Crombie 1994年的科学思维方式等工作中的榜样”。 Crombie枚举以下科学风格：

在公理数学科学中的假设

复杂可检测关系的实验探索与测量

假设的建模

通过比较和分类来命令各种各样

统计分析群体，以及

遗传发展的历史推导（引用1996,65）

盖恩谨此说明，后一种概念的“风格”可以被“方法”所取代，并且“这里讨论的样式与当地风格无关”。 他还说，当谈到当地风格时，这是对这种分析的社会学支持的群体是“研究群体”或“国家”。 近来，在这种当地因素的实验科学历史上有很多重视（例如，参见，例如，Gavrogle 1990为两个低温实验室的“推理方式”，杜瓦（伦敦）和Kamerlingh Onnes的款式（leiden））。

现在数学的历史学家正在试图向纯数学应用此类历史方法。 最近在这个方向的尝试是在“认知配置”中引起了反对的工作，例如他最近关于亚历山大和雷德伯斯特的文章在结理论中的早期工作（2004年的遭受影响;但另见Rowe 2003和2004年，并遭到2011年的Epple 2011）。 此类调查的支持小组并未被称为“学校”，而是作为“数学传统”或“数学文化”。

风格的'方法论'概念呢？ 有数学的历史学家赚了很多？ 除了众多护理的第一款风格（公理方法）外，这方面还有很多历史贡献，而是荣誉在Frenice de Bessy（2001）上的工作。 她认为，Frenicle de Bessy练习的纯数学与Baconian风格的实验科学风格很常见。 也许一个人应该在这里提到，实验数学现在是一个盛开的领域，这可能很快就会找到它的历史学家（参见Baker 2008，了解了实验数学的哲学叙述和Sørensen2016年的数学培养方面的分析）。 这倾向于对哲学家感到高兴的话题，因为它暗示了数学方法的问题。 问题可以简单地说明如下：除了克拉姆西列表作为方法论风格（a）[公理]，在数学实践中追求的其他风格是什么？ Corfield 2003在他的书籍介绍中触及了“真正的”数学哲学“的问题，他指的是上面的Crombie列表，说：

黑客赞扬Crombie在逻辑实证主义者分离后将（a）作为“恢复数学恢复数学”（黑客1996年），并通过承认印度和算法风格来扩展其样品的数量至二阿拉伯数数学。 我对这一论点感到满意，特别是如果它阻止数学被视为完全不同于任何其他活动。 实际上，数学家也从事风格（b）（见第3章），（c）和（d）[7]，沿（e）数学家目前正在分析riemann zeta函数的统计数据。 （Corfield 2003,19）

在注释7中，Corfield提法John Thompson对有限简单群体的分类是分类学的效果的评论。

这不是本文的目标是从之前的引号中出现的大量问题。 但应该指出的是，这些问题代表了一个新鲜和刺激的地区，用于了解数学的描述性认识学，并在这个方向上进行了一些作品（参见Eetcheverría1996; van Bendegem 1998; Baker 2008）。

最后，如何将“当地”和“方法论”样式放在Chevalley和De Lorenzo的内容中？ 在数学的情况下，有良好的证据表明，“风格”瀑布最自然的基因座，所以在这两类之间说话。 实际上，凭借和大，数学款式超出任何以更简单的社会学术语（学校等）定义的当地社区，并且是支持小组只能以追求的具体查询方法为特征。 另一方面，该方法不是如此普及，即被识别为Crombie或通过黑客给出的扩展列表中描述的六种方法之一。 以下是一些可能的示例，其中附加到每个位置的名称不应误导读者认为一个人仅仅是处理“个人”风格。

Geometry中的直接与间接技术（Cavalieri和Torricelli vs. Archimedes）

十七世纪和十八世纪分析中的代数与几何方法（欧拉与麦克勒林）

十九世纪复杂分析中的几何与分析方法（Riemann Vs. Weierstrass）

代数数字理论中的概念与计算方法（Dedekind与Kronecker）

代数几何结构上的结构与直观风格（德语学校与意大利学校）

当然，它可能只是在科学的历史和哲学中有“中间”的风格水平，如这里描述的风格（思想的一个例子是数学物理学中的'牛顿风格'），但让Jean Gayon没有将它们视为中央的事实似乎指出了数学历史和哲学的情况完全不同，因为这些“中间”风格是那些已经更彻底地讨论的，与Chevalley和De Lorenzo分析的风格相对应。 此外，讨论当地的数学文化往往没有风格概念。

6.迈向风格的认识论

风格认识学的问题可能大致如下。 是数学话语中的体重素元素是否没有认知价值，因此只有数学话语的着色，或者可以被视为与其认知内容更密切相关的？ 这里着色的概念来自弗赖吉，他们在声明的真实条件和可能提供关于发言者或听众的思想信息的声明的真实条件之间的“思想”之间的归功于“思想”，但对其真理条件没有贡献。 在自然语言中，着色的典型元素是遗憾的表达，例如“不幸的是”。 “不幸的是，它正在下雪”与“它正在下雪”和“不幸的是”，在第一句话中，“不幸的是”只是着色的一部分。 雅克和Monique Dubucs在“La Couleur des Prepves”（Dubucs和Dubucs 1994）中的证据方面概括了这种区别，在那里他们处理了“数学言论”的问题，这是一个非常接近的问题一种风格分析。 将传统的言论称为“残余主义”，因为它只考虑了数学文本的非认知意义的现象，例如，留下了对象（如演示的内容）未受破坏，他们探索了更多的选项雄心勃勃的“数学的言论”。

因此，人们可以开始阐明可以对风格的认识论意义进行辩护的第一位置。 它是一个否定风格任何必要的认知角色的位置，并将其降低到主观着色的现象。 根据这个职位，风格变化只会揭示留下暗示内容的表达肤浅的差异。

有关风格认知内容的文献中，两名更雄心勃勃的职位已经辩护。 第一个似乎与数学中的柏拉米大学或现实主义形式兼容，而第二则绝对反对它。 所提到的是文献中可用的两个主要建议，即格兰杰1968和1992年的黑客，现在将简要描述。

格兰杰的风格哲学的论文（Essai D'Une Philosophie Du Style 1968）是制定数学风格理论的最具系统和工作的努力。 格兰杰的计划如此雄心勃勃，富裕地讨论了对他的书的结构和他的详细分析的彻底讨论本身需要纸张（另见本尼斯 - Sinaceur 2010）。 由于空间的限制，这里的目标是粗略地了解该项目的内容，并表明由歹徒捍卫的风格的认识论作用与数学实体或结构的现实主义兼容。

格兰杰的目标是提供对“科学实践”的分析。 他将练习定义为“与其复杂的背景中考虑的一项活动，特别是社会条件，在有效经历的世界（vécu）”（1968,6）中赋予它所意思的社会条件。 科学他定义为“抽象模型的建造，一致而有效的现象”（13）。 因此，科学实践具有“通用”或“一般”组件和“个人”组件。 对科学实践的分析需要至少三种类型的调查：

通过模型，有许多结构化的结构，一定的现象; 和相同的型号可以应用于不同现象。 此外，科学建构（包括数学），揭示了某种“结构统一”。 这两个方面都将是一个风格分析的主题。

第二次调查涉及“科学特色”，旨在研究在对科学实践的个性化方面相关的心理成分;

第三调查涉及科学创造的“偶然”的研究，始终位于空间和时间。

对“科学惯例”的分析，但在他的书中，格兰杰只关注1.风格和数学在哪里进来 数学作为调查领域之一，可以受到对科学的一个风格分析（Granger的书籍不仅提供数学提供的应用，而且还提供语言学和社会科学）。 风格怎么样？ 根据格兰杰的说法，每个社会惯例都可以从风格的角度来研究。 这包括政治行动，艺术创作和科学活动。 因此，一般的风格学家将尝试捕捉这些活动的最普遍的风格特征，然后是更多的“本地”风格分析，例如格兰杰提供科学活动的传感器分析。 显然，这里调用的风格的概念必须是比通常与这个术语相关的更具包含的概念，实际上是政治活动或科学活动的申请不仅是隐喻而是“连接”的那种活动。

格兰杰对数学风格的分析占据了他的一本书的第2,3和4章。 第2章涉及欧几里德风格和数量概念; 第3章与“笛卡尔风格和脱武风格”之间的反对（在笛卡尔风格中看到Rabouin 2017）; 最后，第4章涉及“矢量风格的诞生”。 所有这些分析中心周围的“几何幅度”概念。

通过简单地研究他在他的序言中描述的一个例子，一个人的良好感到良好的感觉。 这是一个关于复杂数字的示例。

根据格兰杰的说法，风格是一种对体验施加结构的一种方式。 必须在这里服用经验来超越实证体验。 一般来说，数学家呼吁不是经验的体验。 从这种经验来看，在数学活动中构成的“直观”组件。 但是，人们不应该认为有一个“直觉”，因为它在外部，然后申请表格。 数学活动同时产生了特定经验的背景中的形成和内容。

风格似乎在我们这里一方面作为一种理论的概念，将它们连接到统一它们的一种方式; 另一方面，作为限制直觉有助于确定这些概念的方式。 （格兰杰1968,20）

作为示例格兰杰，给出了三种介绍了复杂数字的方式; 所有三种方式都考虑了表征所讨论的代数结构的结构性属性。 第一种方法使用角度和方向引入三角形表示的复数。 第二个将它们介绍为应用于向量的运算符。 在第一种情况下，一个定义复数号作为一对实数，然后立即进行添加性。 相比之下，在第二种情况下，它是立即抓住的乘法特性。 但是，这是第三种方式，人们也可以通过常规方矩阵引入复杂的数字。 这导致将复数的数字视为X Modulo X2 + 1中的多项式系统。

这些不同的方式掌握了一个概念，将其集成在操作系统中并与之相关联的一些直观影响 - 其中一个人将不得不在精确程度上限定 - 构成我们所谓的风格方面。 很明显，概念的结构内容在这里没有受到影响，即概念量数学对象是通过这些风格的这些效果相同的。 然而，它并不总是如此，我们将遇到想要真正概念变异的风格职位。 无论如何，在任何情况下，始终都是什么变化是概念对此或使用的概念，此或该扩展。 因此，风格起到了对数学内部发展的辩证以及与更多具体物体世界的关系的辩证法，这也可能是必需的。 （格兰杰1968,21）。

因此，在格兰杰的理论中，数学款式是呈现模式，或抓取数学结构的模式。 至少在某些情况下，风格的影响留下了不受影响的数学对象或结构，尽管它们会影响他们所逮捕的认知模式，因此影响它们如何受到在各种区域的延伸的情况下，即使格兰杰可能同情Kantianism没有超越主题，因此将风格视为本构成，似乎他的立场至少与数学实体的现实形式兼容。 这似乎不是讨论第三和最终的认识论的情况，这是由于Ian Hacking造成的。