数学非演绎方法（一）

正如它所说，没有单一，明确的哲学亚场，致力于在数学中的非演绎方法研究。 随着该术语在这里使用，它包含了一组不同的哲学位置，方法和研究程序，其共同的动机是（i）存在数学方法的非演绎方面，并且（ii）对这些方面的识别和分析具有潜力是哲学富有成效的。

1.简介

1.1发现与理由

1.2扣除和正式化

1.3扣除主义和基础

2.减少方法的非演绎方面

2.1非正式性方面

2.1.1半正式证明

2.1.2证明中的差距

2.1.3图

2.2证明扣除

2.2.1规则的理由

2.2.2公理状态

2.3Gödel的结果

3.替代的非演绎方法

3.1实验数学

3.2枚举归纳

3.3计算机证明

3.4概率证明

4.摘要/结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.简介

关于数学本体的哲学观点从柏拉打主义（数学是一个抽象对象的领域），虚构主义（数学是一个主题不存在的虚构），对形式主义（数学陈述没有根据正式规则操作的无意义的字符串），没有达成一致意义。 相比之下，似乎很公平地说有一个哲学建立的数学基本方法的观点。 大致，数学家旨在证明各种种类的数学索赔，并且该证据包括来自公理的给定索赔的逻辑推导。 这个观点历史悠久; 因此，笛卡尔在他的规则中为心灵的方向写（1627-28），即数学命题必须“从真正的和已知的原则推导出了明确的和不间断的思想，这对过程中每一步的明确愿景”（47）。 对这种观点的重要意义是，至少理想地，在数学中没有空间，用于非演绎方法。 例如，弗雷格说，“这是数学的性质总是更喜欢证明，可以通过感应的任何确认，在任何情况下进行证明”（1884,2）。 Berry（2016）为促进数学社区内的共享探究的关键优点提供了更新的证据。

在哲学文献中，可能对这一收到的挑战最着名的挑战来自于IMRE Lakatos，在他有影响力的（Poshathously Published）1976年的书籍，证据和反驳：

欧几里德方法制定了一定的介绍方式。 我将把这张称为“扣除主义者的风格”。 这种风格以精心陈述的公理，lemmas和/或定义开始。 公理和定义经常看起来人为和神秘的复杂。 一个永远不会告诉这些并发症如何出现。 公理列表和定义之后是仔细措辞定理。 这些都被加载到巨大的条件下; 似乎任何人都应该猜到他们。 定理跟随证明。

在DESTUCTIVISICIST风格中，所有命题都是真实的，并且所有推论都有效。 数学被呈现为一个不断增加的永恒，不可变真理。

扣除斗争风格隐藏着斗争，隐藏着冒险。 整个故事消失了，证明程序过程中定理的连续暂定配方注定要忘记，而最终结果升级为神圣的灭臭（Lakatos 1976,142）。

在进行之前，有价值的是要使一些区别来集中注意力讨论的主题。

1.1发现与理由

广泛声称，数学活动存在一些非演绎方面似乎相对令人不堪。 对于这仅仅是索赔，而不是数学家在数学时所做的一切都包括从其他陈述中获取陈述。 正如詹姆斯富兰克林所说：

数学不能仅仅包括猜想，反驳和证据。 任何人都可以产生猜想，但哪些值得调查？ ......这可能能够通过Mathematician的曲目中的方法证明？ ......在下次对任期审查之后，这不太可能产生答案？ 数学家必须回答这些问题来分配他的时间和努力。 （富兰克林1987,2）

一种缩小一般索赔的一种方法，以使其更加实质性是利用熟悉的（虽然并不完全没有问题）区别在“发现的背景”和“辩论背景”之间的区别。 一方面，这种区别可能让传统的扣除主义视图在兰卡托斯的批评面前维护，通过争论Lakatos指着担心在数学中发现的背景。 在理由的背景下，公理结果的导出可能仍然是正确和完整的故事。 数学家对Lakatos观点的一些反应具有这个角色，例如由莫里斯克莱尔写给Lakatos的信中的以下评论：

我相信我们需要更多的文学强调数学的发现一侧。 正如你所知，就像你暗示的那样，所有的重点都在数学的演绎结构，并且给学生的印象是从旧的那里推断出新的结论。[1]

也可以在Pólya的工作中找到类似的段落，他对Lakatos进行了重大影响：

研究解决问题的方法，我们感知到数学的另一面。 是的，数学有两个面孔; 这是欧几里德的严谨科学，但它也是别的东西。 在欧几里德方式呈现的数学表现为一个系统，演绎的科学，但在制作中的数学似乎是一个实验性的归纳科学。 （Pólya1945，vii）[原装斜体]

相反，为了对熟悉的扣除职位构成真正的挑战，反对者需要成为非演绎方法在数学结果的理由中发挥作用（PASEAR 2015）。 因此，它将主要是正义的环境，其将在本调查的其余部分中重点关注。[2]

1.2扣除和正式化

这不是详细分析扣除的地方。 出于目前的目的，至少原则上，这一概念将被认为是相当简单的。 扣除是任何序列序列，每个语句都是从某些初始语句（房屋）或序列中的先前语句导出的序列。 但是，需要解决的一个问题是扣除和正式关系之间的关系（参见，例如，Azzouni 2013）。

一个论点可能会在没有正式的情况下扣除。 虽然扣除的范式案件趋于在高度正式的系统中发生，但这不是必需的。 “偶数数量大于2是复合材料; 1058大于2; 1058是偶数; 因此，1058是复合材料“尽管没有正式化，但是一个完全好的扣除。 因此，与有时在这些问题的讨论中讨论有时候，这不是真实的，因此，数学实践的所有非正式方面都不是不可努力的。

另一方面，正式逻辑的发展一直密切合作，提供了一种清晰的语言，用于提出（和评估）Deftuctive数学推理。 实际上，正如John Burgess在他（1992年）所说，现代古典逻辑在很大程度上被开发为数学推理，特别是证据的基础。 在19世纪的数学内严格的严格增加被恰当被视为弗勒格工作所揭示的逻辑革命的原因，而不是效果。 在Burgess的观点中逻辑是描述性：其目标是建造推理的数学模型。 古典逻辑构成了经典数学证明的理想化描述。

区分给定数学证明的非全能性元素的非正式元素（如果有任何此类事情）也可能很重要。[3] 在第4节中，将与数学推理中的图表相关联。

1.3扣除主义和基础

除了正式逻辑的发展之外，扣除主义的另一个方面是重点是“基础”。 原因是原则上，从公理到定理的通道是直截了当的，因为它是逻辑推导的问题。 事实上，在这次转变中没有任何明显的数学。 因此，注意力被转移到演绎过程的起点，即原理。 如果这些公理本身是一些更基本理论的定理，那么可以通过更多的基础数学理论的层次来追求这种安全起点的追求。

不可否认的是，数学基础的问题是在20世纪的大部分时间都是数学哲学家的中心关注。 当然，这不是集合理论的基本领域是哲学家认为扣除的唯一数学领域，而是因为 - 以上面的专注于扣除，特别强调证明的起点。 即使是那些对基础问题的关注的人也可能承认，因此忽略了许多数学实践领域。 问题是什么 - 如果在该过程中丢失了任何哲学兴趣。

2.减少方法的非演绎方面

2.1非正式性方面

2.1.1半正式证明

如上所述中提到的，DESTUCIVISICR样式的一个特征是范式数学证据完全以适当的正式语言（例如，具有身份的一阶谓词逻辑）表达。 这允许特定证据的有效性容易地，实际上是机械确定的。 但是当然，如果有的话，由数学家分发和发布的证据都有这种形式。 作为工作数学家的证据符合什么，从完全非正式地到详细和精确，每一个（或几乎每一个）填充都填写。但是，甚至详细和精确的证据很少以逻辑语言纯粹表达; 相反，它们是普通语言，数学和逻辑符号和术语的混合。

有时哲学家在扣除专家传统中写作使它听起来好像这是一个相当琐碎的点; 这只是一个数学家有一个“翻译计划”，但没有在纯粹的逻辑中写出证明，使其更容易读取和更容易阅读。 事实上，它往往远远明显如何将给定的证明转化为正式逻辑。 此外，目前尚不清楚“将”一个非正式证据转化为正式语言的概念必然是看局势的正确方法。 Stewart Shapiro基本上展示了1991年的书籍，没有基础主义的基础，写作：

完整逻辑的语言至少部分地是普通自然语言片段的数学模型，如英语，或者也许是普通语言以数学中使用的表达式增强。 后者可能被称为“数学的自然语言”。 为了强调，或避免混淆，完整逻辑的语言有时被称为“正式语言”。

作为数学模型，逻辑语言与其自然语言对应之间总是存在差距。 对于手头的任何目的，模型和建模之间的适合可以是好的或坏，有用或误导。 （Shapiro 1991,3）

替代图片是形式和非正式的语言提供了表达数学定理和证据的不同方式。 正式的语言不习惯“翻译”，因此不需要针对非正式证明中所表达的内容来衡量。 相反，它提供了自己，可说的优越的资源，用于表达为此目的专门设计的精确和严格的设置中数学陈述的内容。 无论采用正式和非正式演示之间的关系，仍然存在两点。 首先，由数学家制作，传输和构建的演绎数学参数 - 可以是正式的或非正式的。 其次，在某种形式的正式系统的背景下，评估这些参数的评估更容易实现。

还值得注意的是，除了正式和非正式之外，Lakatos还认为是第三类证据，除了正式和非正式的情况下，他还是称之为“准正式”。 lakatos写道：

旨在表明，正规证明只是一个不完整的正式证据，因为早期教育主义者在早期的教育主义者那里犯了同样的错误，假设一个孩子只是一个成年人的微型，他们忽略了对儿童行为的直接研究，支持基于与成人的简单类别的理论化行为。 （Lakatos 1980,63）

2.1.2证明中的差距

上面的“在过渡到理想证明的”填充“的”填充的每个差距“的谈话可以让证据中”差距“的概念本身需要进一步澄清。 有一件事，定义证据差距的最直接的方式 - 如下所述 - 仅适用于完全正式的系统。

差距是校验中的任何点，其中编写的线路通过应用于系统的正式有效 - 和明确的推断规则，从前一行（与公理）的某些子集不遵循。

条件的原因是任何规则是系统的明确推断规则是因为我们想要为Gappy但有效的证明腾出空间。 例如，“2 + 2 = 4，因此有无限的许多素数”是一个有效的论点，但在其前提与其结论之间存在巨大差距。 另一方面，尽管上面的定义只适用于正式证据，但无形和形状并不总是在一起。 因此，传统的三段论如“，”所有人都是凡人; 苏格拉底是一个男人; 因此，苏格拉底是凡人“是无形非正式证明的一个例子。 将Gappiness（和Geplessness）扩展到非正式证明的一种方法是通过基本数学推理的概念，换句话说，“数学界被可用的证据中可用而没有任何进一步争论的证明”（Fallis 2003，49）。

然而，我们最终表征了差距，无论如此，数学家呈现的大多数实际证明都是无疑的。 Don Fallis提出了他（2003）中的各种证据差距的分类：

推理差距

“每当数学家所考虑的特定命题（作为证据）不是验证的特定命题的特定命题序列，数学家留下了推理差距”（Fallis 2003,53）。

肠道隙

“每当他没有明确说明他所需的特定命题序列（Fallis 2003,54）时，数学家已经留下了幽闭般的差距。[4]

无懈可击的差距

“每当他没有尝试直接验证他所要求的命题（作为证明）的命题中的每种命题（作为证据）的顺序验证，留下了一个无法讲过的差距，从而通过基本数学推理的序列中的先前命题”（Fallis 2003，56-7）。

除了这种分类作业之外，Fallis还争辩说证明中的差距不一定是坏事。 建立上文（III），他介绍了一个普遍的无懈可击的差距的概念，换句话说，任何数学界的任何成员都没有桥接的差距。 Fallis声称，这种差距并不罕见，至少包含它们的时间证据是在一个正规的背景下被数学家接受。 该观点是安德森（2018）的最新工作中承担了。

目前活跃的工作领域导致迄今为止揭示各种各样的遥控差距是自动证明检查。 专门设计的计算机程序用于检查以适当的正式语言呈现的证据的有效性。 到目前为止迄今为止的主要焦点并未发现新的结果，但要检查已建立的结果的证明状态。 George Gonthier使用这种方法来验证四种颜色定理（Gonthier 2008）的证明，以及组理论中奇数定理的证明（Gonthier等，2013），托马斯·哈尔斯已验证了约旦的证据曲线定理（Hales 2007）。 在每种情况下，发现了许多空隙，然后遍历。 此类的正式验证还可以揭示隐藏在普通数学参数内容中的其他信息。 Georg Kreisel已经将该一般过程描述为“展示证明”，而Ulrich Kohlenbach最近更近期创造了“挑战矿业”一词 与上述方法有关，Avigad写道

...可以在自动推理和正式验证领域使用校样方法和见解。 自二十世纪初以来，已经理解，至少原则上，普通的数学争论可以在正式的公理理论中表示。 然而，即使是最基本的数学争论也涉及的复杂性在实践中呈现最令人满意的形式化。 计算证明助手的出现已开始改变这一点，使得可以正式化越来越复杂的数学证据。 ...... [T]他的方法也可以用于验证普通数学证据的更传统的任务，并且与依赖于计算过于掌握的证明的情况尤其相关的案例。 （Avigad 2007,7）

然而，DELARIVIERE和VAN KERKHOVE（2017年）指出，而计算机方法可能在证明验证中发挥越来越重要的规则，但这更清楚的是，这种方法可以在推进数学认识方面发挥相应的核心作用。

2.1.3图

非正式证明的另一个方面，这是最近的哲学文献中重新关注的主题是图表（吉亚奎托2007年;生肖和柠檬2008）。 什么不是争议的是 - 尤其是在几何形状中，而且还在其他地区，从分析到组理论 - 通常伴有图表。 一个问题涉及这些图表是否在从给定证明的房屋的推理链中发挥不可或缺的作用。 Prima Facie，似乎有三种可能的情况：

该图在证明中没有实质性的作用，仅仅作为它交易的主题的方面的“插图”。

实际上，难以使用图的情况掌握证明（甚至不可能），但这种不可或缺性是心理而非逻辑的。

该图在证明的逻辑结构中起重要作用。

哲学工作的初始浪潮，在欧几里德元素上专注于欧几里德元素，部分是因为这项工作的中心性和历史重要性，部分原因是因为它经常被视为演绎方法的规范示例（参见，例如，参见，例如，参见，mumma 2010）。 如果元素中的某些或所有图表属于上面的选项（iii），则删除所有图形将呈现许多证明无效。 这提出了可以识别和分析和分析明确图解的推理形式的进一步问题，并且 - 如果是的，则可以在纯粹的演绎系统中捕获。 任何提出的严格化的一个难度是“泛化问题”：如何将与特定图表相关的证据概括为其他情况？ 这与在给定图表的基本和巧合的特征之间以正式条件区分的问题交织在一起。

最近关于证明图中的角色的工作包括辩护，即目的证明有时可以完全严格（Azzouni，2013），以及在几何形状以外的数学实践领域的基于图的推理探索（de Toffoli和Giardino，2014; De Toffoli，2017）。

2.2证明扣除

即使我们限制对理由背景的关注，如果它从安全起点，并且推论规则是真实保留的话，则才能产生分类知识。 我们有信心这两个条件也纯粹地推迟了吗？ 这些条件将依次考虑。

2.2.1规则的理由

从某种意义上说，对于一些有利于的推理规则来说，似乎非常简单。 例如，可以示出，如果模拟的应用程序的应用是正确的，则结论也必须是真的。 问题至少可能是这样的理由通常利用他们寻求证明的规则。 在上面的情况下：如果MP适用于真地，那么结论是真的; MP适用于真实处所; 因此，结论是正确的。 HAACK（1976）和其他人已经争论了这里的循环是否恶毒。 一个至关重要的考虑是无效的规则是否可以给出类似的“辩论”，例如先前的“吨”的介绍和消除规则，这也具有使用规则来证明自己的这种特征。[5] （密切相关的问题可以追溯到Lewis Carroll及其经典（1895）纸。）

2.2.2公理状态

然后，让我们假设一个理想化的演绎证据提供一种安全性：每个步骤的透明度确保了一个整体的参数的有效性，因此，如果房屋均为真实，那么结论必须是正确的。 但在证明过程开始时带来的公理是什么？ 对这个问题的传统答案是声称，公理的真实性是安全的，因为公理是“不言而喻”。 例如，这似乎是普遍几何形状的公理视图。 然而，由于各种原因，这种态度在当代数学中普遍存在。 首先，在19世纪初发现非欧几里德几何形状表明，至少在平行假设的情况下，明显的自我证据是无法保证必要的真理。 其次，数学理论的范围增加和复杂性 - 以及它们的公理化 - 使得每个单独的公理透明地是真实的。 第三，许多数学子场已经从任何具体模型都被抽象到了相当程度的程度，这与至少一些数学家的趋势倾向于采用他们发展理论的形式主义态度。 在这个视图公理上而不是表达基本真理，只需为正式游戏提供起始位置。

向这种形式主义主义的公理态度的幻灯片也可以通过Frege的逻辑来追踪。 逻辑学家计划试图表明数学是将逻辑还原的，换句话说，数学证据可以被证明由逻辑上扣除逻辑扣除。 对于Frege，这些逻辑真实的房屋是在它们中发生的术语的定义。 但这再次提出了从不可接受的定义中可接受的区别的问题。 这里的担忧不仅仅是我们的公理是否是真的，而是它们是否甚至是一致的（一个着名的菲尔德自己系统的陷阱）。 这是一个问题，一旦自证书被遗弃为公理的“黄金标准”，我们是否从这里移动到形式的视图或逻辑学家视图。 在这两种情况下，必须提供对候选公理可接受性的一些其他限制。