数学非演绎方法（二）
那么，有没有中间地面，那么，在一方面的高标准的自我证据之间，另一方面的“任何事情”的态度在另一方面？ 一个想法，一个版本可以追溯到Bertrand Russell，是调用最佳解释的推理版本。 Russell的观点，合理的是，基本算术 - “2 + 2 = 4”，“7是素数”等的命题 - 比任何可能提出的逻辑或定理系统的公理更不明显地面。 因此，而不是将公理视为最大的不言而喻，我们应该根据他们的（集体）系统化，获得和解释基本的算术事实的基础上选择它们。 换句话说，逻辑暗示的方向仍然来自公理到算术事实，但是理由的方向可能是另一种方式，至少在非常简单，显而易见的算术事实的情况下。 从我们的设定理论公理中获取“2 + 2 = 4”不会增加我们对“2 + 2 = 4”的真相的信心，而是我们可以导出这种不可思议的已知事实（而不是推导我们所知道的其他命题）的事实确实增加了我们的对公理的真相的信心。
这里的理由方向反映了对最佳解释推断的理由的方向。 一旦我们对特定选择的公理选择衡量标准，就可以在凭借证明的演绎推论的步骤中以更传统的方向流动。 当定理所证明的不是人的真理是强烈的明显时，这将会发生。 Easwaran（2005），Mancosu（2008）和Schlimm（2013）已以不同方式开发了这一基本的Axiom选择的基本账户。 例如，Mancosu认为，类似的过程可以利于延长应用领域的新数学理论的开发或先前理论的本体。 进一步的进展分析该过程将取决于对数学解释的令人满意的叙述，这已成为最近数学哲学文学的相当兴趣的领域。
Maddy（1988,1997,2001,2001,2001,2001,2001,2001,2001,2001,2001）的另一种方法是在数学家的实际做法中更详细地看起来以及他们接受或拒绝不同候选公理的原因。 Maddy的主要重点是用于设定理论的公理，她认为有各种理论美德，没有直接链接到“自我证据”，这是公理可能拥有的“自我证据”。 这些美德是什么，以及如何相对于彼此加权，可能在不同的数学领域变化。 Maddy识别用于设定的定理公理的两个核心优点是统一（即，它们为决定定理问题提供了单一的基础理论）并最大化（即，它们没有任意限制同构类型的范围）。 近期由Lingamneni（2017）和Fontanella（2019年）的工作中的Axiom Choice问题也被占用。
2.3Gödel的结果
无疑是最臭名昭着的数学在演绎方法的局限性是那些源于哥德尔的不完整结果的局限性。 虽然这些结果仅适用于足够强大的数学理论，以便将算术，自然数（以及其扩展到理性，真实，复合物等的延伸）作为数学活动的焦点意味着含义普遍存在。
哥特式工作的确切意义也不夸大。 量子的顺序很重要。 哥尔德所说的是，对于任何一致，递归的公正的正规系统，F，足够强的算术，有真理在纯粹的算术语言中表达，在F中没有证明他没有表明有算术真理在任何正式系统中都是无法形容的。 尽管如此，哥德尔的结果确实锤击了一些重要的钉子进入一个版本的数学的一个版本的棺材。 对于所有数学，不能有一个单一的递归公正的正式系统，这是（a）一致的，（b）纯粹的演绎，（c）完成。 对此困境的一线响应是探索数学中非演绎方法的选项。
3.替代的非演绎方法
3.1实验数学
非演绎方法在经验科学中的作用是显而易见的，相对令人不安的（步伐卡尔Popper）。 实际上，科学中的正明理由的规范模式是后验和归纳。 是什么使实证科学实证是观察，特别是实验的关键作用。 因此，在数学中对非演绎方法的调查中，是一种自然的起点，是看称为“实验数学”的流派的崛起 过去15年左右，已经看到了期刊（例如，实验数学杂志），机构（例如，Essen大学实验数学研究所），克族（例如，实验Rutgers大学的数学克罗斯基州），以及致力于这个主题的书籍（例如，Borwein和Bailey 2003和2004）。 这些后者在Borwein和Bailey（2015年）中也争论了，对于数学实践中的实验数学的重要性，更普遍，而Sorensen（2016）提供了对实验数学的更广泛的历史和社会学分析。
针对数学和经验路线之间的传统二分法的背景，“实验数学”术语似乎是最佳的矛声，并且处于最严重的矛盾。 一种自然建议是实验数学涉及进行数学实验，其中术语“实验”在这里尽可能地解释为字面意思。 这是Van Bendegem（1998）采用的方法。 根据梵文的说法，实验涉及“对物体的操纵”，...在“真实”世界中设置过程，以及观察这些过程的可能结果“（Van Bendegem 1998,172）。 他的建议是，获得初步掌握对数学实验的自然方式是考虑如何在这一范例中的实验是如何具有数学的影响。
梵义·贝德姆引用的一个例子可以追溯到19世纪的比利时物理学高原上完成最小表面积问题的工作。 通过将各种几何形状从电线中建造并将这些电线框架浸入肥皂溶液中，高原能够回答有关各种特定形状的最小表面的特定问题，最终 - 以制定一些用于这种表面配置的一般原理。[6] 理解该示例中发生的事情的一种方法是物理实验 - 电线帧浸入肥皂溶液的浸渍 - 产生与某个数学问题直接相关的结果。 这种表征实验数学的主要缺点是它过于限制性。 Sort Van Bendegem Cites的例子非常罕见，因此在实际的数学实践上的数学实验的影响只能非常有限。 此外，它不仅仅是这个，数学家在谈论的关于和实验性的数学时都很想到的文字的实验感。
对于“数学实验”的最识字读数来说太多了 潜在的富有成效的方法是以类比或功能术语思考。 换句话说，也许“实验数学”被用来标记在数学中以类似于实证在实证科学的作用的方式标记在数学中的活动。 因此，数学实验可以与文字实验共享一些特征，但不是其他特征（Baker 2008; Mcevoy 2008,2013; Sorensen 2010; Van Kerkhove 2008）。 在继续进行这一分析之前，在案例研究中简要地看起来可能有助于。
实验数学的当前工作的一个很好的例子出现在Borwein和Bailey（1995b，Ch.4）的两本最近的两本书中。 如果基于N（任何给定长度）的每个数字序列通常在其基础-N扩展中，则据说一个实数在基础N中是正常的。 如果在每个基础中是正常的，则一个数字绝对正常。 考虑以下假设：
猜想：每个非合理的代数数字都是绝对正常的。
Borwein和Bailey使用计算机来计算到10,000位数的十进制数字，正整数的正整数小于1,000，然后将这些数据进行某些统计测试。
这个例子存在一些引人注目的特征，这可能指向更一般的实验数学表征。 首先，从证据到假设的路线是通过突出诱导的。 其次，它涉及使用计算机。 在下文中，将依次检查这两个功能。
3.2枚举归纳
在1742年写的欧拉的一封信中，基督徒Goldbach召集了大于2的所有偶数都是表达的，作为两个素数的总和。[7] 在以下两年半世纪上，数学家一直无法证明Goldbach的猜想。 然而，它已经核实了许多数十亿的例子，并且数学家之间似乎是猜想最有可能的共识。 下面是一个部分列表（截至2007年10月），显示了所有偶数已经检查并显示符合GC的大小的数量级。
绑定日期作者
1×103。1742年。欧拉
1×104。1885年。DESBOVES
1×105。1938年。pipping
1×108。1965年。Stein＆Stein
2×1010。1989年。格兰维尔
1×1014。1998年。Deshhillers
1×1018。2007年。Oliveira＆Silva
尽管在GC的个人积极实例积累了这一积累，但自20世纪60年代初以来的介绍，随后的速度增加了数字计算机的速度，尚未发现GC的证据。 不仅如此，而且很少有数字主义者在乐观中乐观地发现了任何证据。 菲尔德·艾拉伯士·艾伦·贝克在2000年采访中表示：“我们不太可能进一步[证明GC]，没有大幅突破。 不幸的是，在地平线上没有这么大的想法。“ 此外，在2000年，出版商Faber和Faber为2000年3月20日至2002年3月20日至3月20日在2002年3月20日之间提供了1,000,000奖，有信心他们的金钱相对安全。
是什么让这种情况特别有趣的是，数学家长期以来一直对GC的真相充满信心。 Hardy＆Littlewood断言，回来于1922年，“无合理的怀疑是，定理是正确的，”echeverria，在最近的一项调查文章中，“数学家的确定性关于GC的真相”（Echeverria）写道1996,42）。 此外，GC的真相的这种信心通常是明确的归纳证据的联系：例如，G.H. Hardy描述了支持GC真实性的数字证据为“压倒性” 因此，似乎合理的是，得出结论，数学家对GC的信仰的理由是突密的归纳证据。
数学案例的一个独特特征可以对枚举诱导的正当力量产生差异是顺序的重要性。 在特定的数学假设（至少在数量理论）下落下的情况是本质上的下令，并且此外，此顺序的位置可以对所涉及的数学特性作出关键差异。 作为数学写作：
[T]他的地面[是]不利的归纳; 在这里，在其他领域中没有任何均匀性可以使该方法具有高度的可靠性。 （弗雷格，算术基础）
然后弗雷格继续引用莱布尼斯，谁认为幅度的差异导致数字之间的各种其他相关差异：
偶数可以分为两个相等的部分，奇数不能; 三个和六个是三角形数字，四个和九个是正方形，八个是立方体，等等。 （弗雷格，算术基础）
Frege还明确地比较了归纳的数学和非数学上下文：
在普通的诱导中，我们经常利用这个命题，即空间的每个位置和时刻的每一刻都像对方一样善良。 ......数字系列中的位置不是空间中的位置漠不关心。 （弗雷格，算术基础）
随着弗雷的言论建议，通过某种非统一性原则来支撑在数学中使用枚举归因的一种方法：在没有证据的情况下，我们不应该指望数字（一般）分享任何有趣的房产。 因此，建立一个特定数字的财产持有，没有理由认为第二个任意选择的数量也将具有该属性。[8] 休谟所表明的统一原则是唯一的地面归纳的唯一方法，我们几乎恰恰是相反的原则！ 从这个原则似乎遵循枚举诱导不合理的原则，因为我们不应该指示（有限）样本的自然数目，以指示普遍性的属性。
在GC和数学中的所有其他诱导案例中，我们正在偏见的样本是偏见的，这是一个可能更严重的问题。 首先注意，所有已知的GC实例（以及确实可以知道的所有实例）都是重要的感觉小。
在一个非常真实的意义上，没有大数字：可以说出任何显式整数是“小”。 实际上，无论你写下多少指数的数字或塔，只有一个小于你的候选人的自然数，而且无限的很多很多（克兰德尔和Pomerance 2001,2）。
当然，简单抱怨的是所有GC的实例都是错误的。 毕竟，每个数字都是有限的，所以如果GC为所有有限数保持而不是GC保持简单账台。[9] 但我们可以孤立更极端的小程度，这可能被称为雄鹿。
定义：正整数，n是刚刚在数字范围内的分钟，我们可以使用普通十进制符号写下来，包括（非迭代）指数。
迄今为止的GC的已验证实例不仅仅是小，而且分钟。 并且虽然已知易于隐藏着含糊不清，但收缩是有所作为的。 例如，考虑素质密度的对数估计（即，小于给定的N的数量小于给定的N值），其已知是低估足够大的n。 让n *是对数估计太小的第一个号码。 如果riemann假设是真的，那么可以证明n *（第一偏斜数）的上限为8×10370.虽然令人印象深刻的数量，但根据上述定义，它仍然仍然分钟。 但是，如果riemann假设是假的，而不是N *的最着名的上限（第二歪号数）是10°10°10÷10↑。[10] 发明这里以表示这个数字的“箭头”表示法的必要性告诉我们它不是一分钟。 因此，这一结果的第二部分虽然是不可能的（viz）的结果，但仍然有条件地有条件（viz），意味着有一个包含所有分钟数字但不适合所有数字的财产。 收缩可以有所作为。
那个人们在GC真相中看似信心呢？ Echeverria（1996）讨论了Cantor的出版物在1894年讨论了Goldbach分区函数G（n）的价值表的重要作用，对于n = 2至1,000（echeverria 1996,29-30）。 分区函数测量给定（偶数）数量可以表示为两种inches的总和的不同方式的数量。 因此，G（4）= 1，g（6）= 1，g（8）= 1，g（10）= 2等。这种焦点转移到分区功能恰逢数学家对GC的恐怖增长。 从哥伦的工作中显而易见的是，随着n的增加，g（n）往往会增加。 请注意，在此上下文中的GC量是G（n）永远不会占用值0（对于大于2的任何甚至n）。 通过分区功能的数据制作的压倒性印象是，GC对一些大的n非常不可能失败。 例如，对于大约100,000的数字，总是至少500种不同的方式来表达每个偶数作为两个素数的总和！
但是，由于它代表这些结果纯粹启发式。 在Cantor对他的价值表的出版之后的三十年（作为Echeverria描述为“第2期”的研究进入GC），看得多次试图找到G（n）的分析表达。 如果可以完成这一点，则可能是相对直接的，以证明这种分析功能永远不会超过值0（echeverria 1996,31）。 到1921年左右，关于寻找这种表达的机会的悲观主义导致了强调的变化，数学家开始引导他们注意试图找到G（n）的下限。 这也证明了至少迄今为止的不成功。
因此，考虑分区功能并未带来GC的证据。 但是它确实允许我们对前一节的论点产生一个有趣的扭曲。 该图表表明，最小的数字可能发生最艰难的GC的测试用例; 因此，GC的感应样品偏置，但它偏向于GC的机会。 数学家对GC真相的信心并非纯粹就突出归因。 分区功能所采取的值表明GC的正实例的样本确实偏置，并且偏置样品不作为一般规则 - 向假设提供大量支持。 但在这种特殊情况下，偏差的性质使证据更强大，而不是弱。 因此，可以争辩说枚举归纳是不合理的，同时同时同意数学家是理性的，相信GC在可用证据的基础上。 （请注意，这里有一个微妙的平衡，因为分区功能的行为的证据本身就是非演绎。然而，G（n）的印象可能在下面的一些增加的分析函数下界不基于枚举诱导本身，因此辩护虽然非演绎 - 不是圆形的。）
上述讨论的结果，尽管基于单一案例研究，但在数学索赔的理由下，数学管理者不应该对其而不是给予枚举诱导的重量。 （在多大程度上枚举诱导在发现新假设中发挥作用，或者在选择Mathematicians决定工作的开放问题的选择中，是一个尚未在此处解决的单独问题。）更准确地说，论文分为两部分：
枚举诱导不应增加对普遍数学概括的信心（在无限域上）。
枚举归纳没有（一般来说）领导数学家在这种概括方面的真实性方面更有信心。
3.3计算机证明
实验数学中当代工作的一个引人注目的特征是它是使用计算机完成的。 这种依赖于复杂的电子产品是什么让这个领域的“实验”？ 如果一个看着在当代期刊，书籍和致力于实验数学的会议中出版的内容，那么印象是所有物品都与计算机密切相关。 例如，在十多年的实验数学问题上似乎没有出版的单一文件，这些数学不涉及使用计算机的使用。 数学家倾向于作为实验数学范例提供的例子类型呢？ 这里的数据不太清楚。 一方面，一个非正式的调查表明，大多数此类样权都涉及明确使用计算机。 另一方面，数学家也不罕见，也不闻名于计算机年龄之前的一个或多个历史例子，以说明据称的细分课程的血统。
基于基于实验数学的基于实验数学的基于实验数学的基于实验数学的基于实验数学来自自我样式的实验数学家对他们的新生纪律来说。 对于数学家自觉地反映实验数学的概念时，它们倾向于拒绝计算机使用是必要的特征的声明。 例如，关于期刊实验数学的编辑 - 关于期刊的范围和性质的“哲学声明” - 提出以下言论：
“实验”一词广泛构思：这些天数学实验在计算机上进行了许多数学实验，但其他几个数学实验仍然是铅笔作品的结果，并且还有其他实验技术，如建筑物理模型。 （“目标和范围”，实验数学 - 见其他互联网资源）
这里是Mathematician Doron Zeilberger的类似风味的另一个段落：
[T]引发实验数学......使用铅笔和纸张，通过各个伟大，较少，数学家追求所有伟大，较少的数学家。 （加里安和皮尔森2007,14）
似乎很公平地说，将实验数学与计算机使用捆绑很适合当代实验数学家，但与他们所说的不太好。[11]
拟议表征的第二个问题在于性质上更哲学。 考虑与Goldbach猜想有关的另一个被宣传的实验数学例子。 截至2007年4月，已核实均符合1018的所有数字符合GC，而该项目（在Oliveira E Silva的方向下）正在进行中。 这种大规模计算任务通常被认为是实验数学的范例示例。 似乎很明显，计算机在这里发挥重要作用：没有数学家或一组数学家，可以用手复制1018计算。
在当前的上下文中，核心问题不是基于计算机的数学是否是“实验”，而是是否至少有时候是 - 非演绎。 当然，在一种意义上，计算机执行的所有单独计算都是演绎，或者至少它们是纯粹演绎正式系统的操作的同性。 当计算机验证GC的实例时，此验证已完全消耗。 然后我们可以分开两个不同的问题。 首先，这些计算是否在一些更大的数学论证中发挥了非演绎作用？ 而且，其次，我们的信仰是我们直接从计算机计算的结果中表达的推迟接地信仰？ 其中的第一个问题没有打开特定于计算机的任何东西，因此崩溃回到上述突出归纳的第3（b）节中讨论的问题。 第二个问题将在下面进行审查。
