【无题】56.条件与量词与不得式

8.全集与补集

①全集：所研究对象的全体所构成的集合，称为全集，用“∪”“I”“R”等表示［所给定的原集］。

②补集：

定义：在全集(∪)的子集A中，除子集(A)中所有元素外的其他元素所组成的集合叫此集合A在全集∪中的补集，记作CuA

9.交集与并集两个

①并集:

A.定义：两个或多个集合中的所有元素(重合的元素写成一个）组成新的集合叫这两个(或多个)集合的并集。

B.表示：A∪B，“∪”并集符号

A∪B=｛xlx∈A或x∈B｝

②交集：

A.定义：两个或多个集合中的相同元素，重新组合一个新的集合叫这两个（或多个）集合的交集。

B.表示：A∩B“∩”交集符号

A∩B=｛xlx∈A且x∈B｝

③两个运算公式

（CuA）∪（CuB）=Cu（A∩B）

（CuA）∩（CuB）=Cu（A∪B）

条件与量词

1.命题

①定义：判断一件事情的真假的陈述句叫命题。

②组成：由条件（题设）与结论两部分组成。

③种类：一般为真命题和假命题。

④否定命题：也叫非命题，将一个命题的条件不变而结论加以否定的命题叫这个命题的否定命题，即非命题。

2.条件：

有两个命题p和q

①若p→q，但q≠p，则把p叫q的充分但不必要条件。

②若p≠q，但q→p，则把p叫q的必要但不充分条件。

③若p→q，且q→p，则p，q互为充分并且必要条件，简称“充要条件”。

④若p≠q且q≠p，则p，q互为不充分也不必要条件。

［注意：在数学中，大≠小，而小→大，例.p：x＞3 q：x＞-1，则p→q但q≠p］

3.全称量词与存在量词：

①全称量词：

A.定义：把含有所有，全部，一个都不能少，任意一个，等词语称全称量词。

B.表示：例如.对于任意x∈R，x²+3≥0恒成立，记作Vx∈R，x²+3≥0恒成立。（打不出来符号，暂时把∨当做是全称量词符号）

②存在量词：

A.定义：把含有，有几个，一些，至少一个但不是全部，有一部分，等词语称存在量词。

B.表示：“E”表示（实际上的存在符号是把E反过来了，三l，大概这种，大家将就看吧）例如，存在实数2x+3≥0成立，记作Ex使2x+3≥0成立。

③量词在命题与非命题中转化

在命题与非命题中：条件上的∨与E必须相互转换。

例如p：∨x∈N，则2x-3≤0 一lp（请把这个符号当成否定）

Ex∈N，则2x-3≤0

1.不等式

①定义：含有不等号的式子称为不等式（≠，≥，＞，≤，＜）。

②种类：

A.按元分类

a.一元不等式

b.二元不等式

c.多元不等式

B.按不等号的性质

a.绝对x²+1＞0

b.条件Ex∈R使2x-3＞0

c.不矛盾x＞2，且x＜1

C.其他

a.基本不等式（均值不等式）

b.柯西不等式

c.其他不等式

2.不等式的基本性质

①若a＞b，则a±c＞b±c。

②若a＞b，C＞0。

则a·c＞b·c【a/c＞b/c】。

若c＜0，则a·c＜b·c【a/c＜b/c】。

③传递性：若a＞b，b＞c则b＞c。

④可倒性：若a·b＞0［a，b同号］。

a＞b则1/a＜1/b。

⑤同向可加性：若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d。

［注意：只有同向可加性，无同向可减性。］

⑥同向可乘性，若a＞b＞0，c＞d＞0，则a·c＞b·d。

［只有同向可乘性，无同向可除性。］

⑦可乘方性，若a，b∈R+，n∈R+

则an（次方）＞bn（次方）

⑧可开方性，若a，b∈R+，n∈R+，a＞b则a1/n（次方）b＞b1/n（次方）/（n√a＞n√b）。

3.利用不等式性质判断大小

①作差法：

若A＞B＞0→A＞B

A-B=0→A=B

A-B＜B→A＜B

②作商法：若A·B＞0

当A·B∈R+

A/B＞1→A＞B

A/B=1→A=B

A/B＜1→A＜B

当A·B∈R-

A/B＞1→A＜B

A/B=1→A=B

A/B＜1→A＞B

③插入特殊比值比较法

插入特殊值0，1，-1进行比较大小。

基本不等式

1.两个平均值

①算术平均值：把一组实数：a1，a2，a3…an，

形如a1+a2+a3…+an形式叫实数的算术平均值。

②几何平均值：把一组正实数a1，a2，a3…an，

形如：n√a1，a2，a3…an，形式叫这组正实数的几何平均值。

2.基本不等式【均值不等式】：

①定义：一组正实数a1，a2，a3，…an的算术平均值与几何不均值之间的不等式叫基本不等式（均值不等式）。

②不等式条件：一组正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。

二维：a·b∈R+，则a+b≥2√ab

三维：a·b·c∈R+，则a+b+c≥3 ³√abc

③成立条件：

“一正，二定，三相等”

一正：指各数必须为正实数。

二定：指，和定（和为定值）积（乘积）最大。

积定（积为定值）和（相加）最小。

a·b∈R+，当a+b=m→定值，则ab有max=㎡/4。

a·b∈R+，当a·b=n→定值，则a+b有min=2√n。

三相等：指当且仅当，这些数都相等时才出现最值。

（例如：a+b（a＞0，b＞0）≥2√ab，当且仅当a=b时，a+b取最小值）

④几个推论公式

A：a·b∈R，a²+b²≥2ab，a²+b²-2ab=（a-b）²≥0

∴a+b≥2√n

B.a·b∈R+

（1）ab≤（a+b）²/4

（2）2/（1/a+1/b）≤√ab≤（a+b）/2≤√（a²+b）/2（分母2也在根号里面）

（3）b/a+a/b≥2

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