证明理论的发展（一）

证明理论的发展可以自然分为：古代逻辑和数学证明概念的预论; 弗雷格发现数学证明，而不仅可以在数学的命题，可以在逻辑系统中表示; 希尔伯特的旧公理证明理论; 利伯特目的失败通过哥德尔的不完整定理; 绅士创造了当代证明理论的两种主要类型，自然扣除和序列微积分（参见自动推理的条目）; 自然扣除阶段的应用与扩展，达到自然扣除计算解释及其与计算机科学的联系。

1.证明概念的追溯概念

2.希尔伯特的旧公理证明理论

3.一致性的无法动力

4.自然扣除和序列结石

5.算术和分析的一致性

6.自然扣除的后期后期

7.序列微积分：后来的开发/应用程序

8.证明理论的目标

参考书目

证明理论的文本

原创作品及其重印

二级文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.证明概念的追溯概念

证明理论可以被描述为数学证据的一般结构以及逻辑遇到的演示力的争论的研究。 这些示范性论点的想法，即，结论是必然来自所做的假设，是Aristotle的分析后海底的中央：围绕许多基本概念组织了一个删除的科学，而没有进一步解释，以及许多基本的真理或公理立即被视为真实。 定义的概念和定理减少到这两个，后者通过证明。 亚里士多德的证据陈述作为示范性论证非常适合古代几何结构，如欧遗工在欧几里德的公务化。 亚里士多德逻辑的具体形式，三段论理论相反，所以似乎，与欧几里德几何形状的证据几乎没有任何关系。 这些证据仍然直观，超过两千年。

在1879年弗雷格的工作之前，没有人似乎坚持认为，在他在他象征的语言写这一点时，弗雷格的意义上可能存在一系列的证据原则，

正确推断所需的所有内容都是完整的，但通常没有指出什么是没有必要的; 什么都没有留下猜测。 （Begriffsschrift，第3页）

（一个人可能会争辩，就经典命题逻辑而言，Boole是一个例外。）Frege的措施，对逻辑和基本研究的发展是决定性的。 与古人的对比很大：亚里士多德给出了一个组合参数的模式，但是一个有限的一组规则的想法是哲学上，超越了弗瑞尔之前的任何人的梦想，就有可能的莱布尼兹。

正如我们今天所知，弗雷格的证据原则是古典谓词逻辑的完整。

1990年左右，Giuseppe Peano对逻辑推断进行了形式化，目的是代表算术中正式证明。 他的精美纸质缩写金属普利普利（Nova Methodo Exposita）最初在拉丁语中撰写的，是在弗雷格到哥特尔（1967）的英文翻译中，吉恩van Heijenoort编辑。 不幸的是，编辑未能认识到PEANO在正式推理中所做的事情，并且PEALO仅仅逻辑和算术语言形式化，而不是其证据原则。 如果Peano的证据甚至有点关心阅读，它会传输它们是使用两种原则的纯粹正式推导：

公理意味着他们的实例。 这种影响可以写成证明中的行。

含义及其前所未有的意义。

Peano非常小心，在他的派生中的每一行，写线的正式理由是什么。

拉塞尔占用了Frege的逻辑，但在1906年的论文中使用了Peano的符号和正式的证明规则，标题为“含义理论” 它的正式机械与Peano的机械完全相同。 在以后的工作中，Russell改变了公理系统和Principia Mathematica（Whitehead和Russell 1910-13）的标准。 拉塞尔的哲学理念，在这里他跟随弗雷格，就是公理表达了基本的逻辑真理，而其他逻辑事实是通过Modus Ponens和Universal泛化来源的，这两个原则弗雷格已经确定。 数学将减少到逻辑，以便其证明将以相同的公理模式呈现。

Frege's和Peano-Russell的逻辑方法成为普遍接受的逻辑，特别是通过希尔伯特和他的同事在20世纪20年代的影响力。 在19世纪，弗雷格是一个边缘的人物，而逻辑的代数方法，如在Boole，特别是ErnstSchröder，是主导的。 很明显，在这个传统中，对谓词逻辑的原则有很好的理解，否则如何才能出现Löwenheim-Skolem定理？ 通过Principia Mathematica在1920年的论文中制作了定理后，Skolem of Tource offecge的逻辑。该论文的第一部分，由于梵者到哥德尔的弗雷格尔的英文翻译，广泛看，标志着逻辑的代数传统结束，用格子理论默默地合并。 本文的其他部分包含了晶格理论和投影几何上证明分析的显着开始：Skolem被认为是从纯组合和正式的角度来看数学理论的公理，作为从给定的公式的衍生的手段配方用作假设。 它在20世纪90年代初发现，晶格理论的一部分载有决策问题的解决方案，称为自由产生的格子的词问题，其已知的源于1988年！ Skolem的术语和格子理论中的术语是Schröder的术语，这是他的作品是丢失的证明理论机会的一部分。

2.希尔伯特的旧公理证明理论

希尔伯特的书Grundlagen Der Geometrie为1899年为20世纪初十年来的数学中央基础问题设定了舞台。 我们可以列出以下问题如下：

数学理论的形式化。 这包括其基本对象和关系的选择以及合理的选择。

证据是公理的一致性。

公理的相互独立性和完整性的问题。

决策问题：是否有一种用于回答理论内可以提出的任何问题的方法？

至于希尔伯特的几何形状，它的企图形式化缩短了它生出的理想。 希尔伯特发现了一种更重要的领域，他要应用他的“元化学”，即算术和分析。 基础作业是对纯逻辑公理制剂的四个基础问题的研究。 所谓的命题逻辑正式化，发现是一致的和完整的，可判定的。 关于谓词逻辑的第一个结果是从1915年起，当Leopoldlöwenheim给出了后来成为谓词逻辑的Löwenheim-Skolem定理的版本（参见古典逻辑的条目）。 他还解决了决策问题的特殊情况。 这种发展独立于Frege-Russell传统，而是基于ErnstSchröder的代数方法。 大约在1920年，“希尔伯特风格”的公理方法，因为它经常被称为，每个人都知道并主宰了逻辑场景; 代数方法几乎没有用格子理论通知。 到1928年，在希尔伯特和Ackermann的Grundzügeder Theoretischen Logik，呈现了一个用于谓词逻辑的公理形式系统，以及其完整性的问题。 后者于1929年由Gödel解决，一年后（Gödel1930）发表。 第四个基本问题，谓词逻辑的决策问题显示，1936年教会的短文中有一个负解，作为哥特的不完整定理的必然结果。

贝尔伯特和他的学校，伯尼亚，阿克曼和冯·纳米曼作为最重要的，以及在法国的年轻赫兰克袭击了20世纪20年代后期算术的元素研究。 希尔伯特开发了一种研究一致性问题，称为epsilon替代方法，处理量词。 他觉得在具有无限物体的情况下与量子的间接推断是一致性证明的关键点，需要一个理由。 说，如果假设所有自然数具有属性P导致不可能的，则可以推断出具有相反的属性Not-P的数字。 因此，核心问题是为了使古典逻辑在数学证据中的使用，首先是合理的。 Ackermann非常接近于20世纪20年代末的解决方案，并在希尔伯特学校统治着乐观主义。 当然，当哥德尔证明了基本算术的完整形式化不可能时，发生了意想不到的事情，因为它很快被解释说，不可能通过合理手段证明算术的一致性，唯一的判断“绝对可靠”通过希尔伯特。

3.一致性的无法动力

在1930年9月，哥德尔公布了算术的不完整之后，冯·诺曼发现算术的一致性将是意大利人的无法动产主张之一。 唉，哥德尔已经做了同样的发现，所以冯诺曼从未发表过他的证据。 然而，他确实猜测了与Gödel算术的一致性和整体数学的一致性的无法动作，在某种程度上存在。 Von Neumann是哥德尔的结果中的关键性质：他在1930年秋天中断了他在柏林的柏林证明理论的讲座，解释了新的发现。 这些事件在数学家之间创造了巨大的兴奋，如Carl Hempel的证词所见证：

我参加了von neumann的课程，这些课程将希尔伯特试图通过合成手段证明古典数学的一致性。 我记得，在课程中，冯·诺伊曼在一天内出现并宣布他刚刚收到了一篇文章......KurtGödel，他们展示了希尔伯特思想的目标，我听到了我已经听过的途径历史Göttingen根本无法实现。 因此，冯·诺伊曼追求了这个主题，并将其余的课程献给了哥特尔的结果。 发现唤起了巨大的兴奋。 （HEMPEL 2000，第13页）

1932年至33年，哥德尔和绅士彼此独立地发现了从古典的Peano算术到直觉般的算术的翻译。 具体而言，它表明，如果前者可以证明矛盾，则在后者中可以证明它。 然后，直觉算术的一致性也可以保证古典算术的一致性。 这一结果是一个惊喜：如上所述，希尔伯特认为“Transfinite”间接存在证明是需要抵抗的算术的一部分。 作者：Gödel和Gentzen的结果，已经过于直观的算术所包含的原则，超出了合理的推理。 1933年2月25日写信给Heyting的一封信总结了如下情况：

有限手段的一致性证明......到目前为止，没有成功，因此尚未实现这一原始目标。 另一方面，如果一个人承认直观的位置本身就是安全的基础，即作为一致的位置，通过我的结果确保了古典算术的一致性。 如果希望满足希尔伯特的要求，则该任务仍将显示直观算术一致。 然而，即使是古典算术的形式算法，这是不可能的，基于Gödel的结果与我的证据相结合。 即便如此，我倾向于相信从甚至更明显的位置的直觉算术的一致性证明是可能的，也是可能的。 （Menzler-Trott 2007，第38页）

最后一个提到的是Gentzen于1932年初为自己设定为自己，何时在给他的老师Hellmuth Kneser写信时：

我已经设置为我的特定任务，找到算术中逻辑扣除一致性的证据......任务通过逻辑扣除的形式化成为纯数学问题。 到目前为止，一致性的证据仅用于特殊情况，例如，整数的整数的算法，没有完整的归纳。 我想在这一点进一步前进，并至少用完全归纳来清除算术。 我从近一年开始致力于这个，并希望尽快完成，然后将这项工作纳入我的论文（与伯尼教授）。 （Menzler-Trott 2007，第31页）

4.自然扣除和序列结石

在追求他的一致性计划时，格子将作为他的第一批任务分析纯粹逻辑扣除，以后延长算术和分析。 在他的论文中（1934-1935），格雷肯表示他作为他的任务，分析了在实践中发生的数学证据。 第一次观察是实际证据不是基于以逻辑语言表达的公理，如希尔伯特的公理证明理论。 最典型的特征是定理在一些假设下使他们的主张。 将假设分析成零件，结论也分析成零件，直到这两种分析符合和证明可以合成。 后一种分析通过称为介绍规则的绅士进行了？它们给出了足够的条件，以获得给定表格的命题。 例如，要得出结合A＆B，可以单独导出A和B足够的东西。 推断在规则中正式给出

一个b。我

A＆B

相反，假设通过消除规则来分析它们的组件，以赋予假设的巨大，立即后果。 例如，用作假设的结合可以分解成其成分，如规则所示

A＆B。＆E1

一种

A＆B。＆E2

b

绅士在1932年开发和研究了自然扣除系统，并于1932年9月到达了今天标准的自然扣除（ND）的微积分。 到这时，他注意到，如果介绍，说明来自A和B的A＆B的推导，之后是相应的消除，例如，公式A＆B构成可以消除的局部最大值的局部最大值，“Hillock”。 他还称这样的小丘“绕道”，现在被称为迂回转换的东西消除了这种不必要的引入消除步骤。 “归一化”步骤的结果是“正常形式”的推导。

含义可能比结合更典型的nd：要导出一个△b，暂时假设a，然后尝试推导b。如果这成功，则在制作到a≠b时，临时假设或“放电”。原理图衍生

[一个]

⋮

湾⊃i

a⊃b

在另一个方向上，如果发现了α的推导，则可以消除△B，因为B可以得出结论：

a⊃b a。⊃e

b

如果规则⊃i是⊃e，则通过拒绝转换删除的非正常性：通过采取未消除规则的次要主题A的推导来构建B的推导（以及它之后的后续）假设A在引言中。 这两件组合成一个没有替代替换公式A⊃B的推导。在Gentzen的论文中，所有假设都是通过暗示介绍关闭的，但现在一个考虑一旦留下公式的派生也是如此开放的假设。

看着联合和含义规则，一项指出的是，前提（推理线上的公式）是I-Rules中结论的结论，而在电子规则中是另一条路。 绅士注意到，在正常的衍生中，这种单一步骤的属性是通过整个推导来实现的，因此所有公式都是结论的子级。 该结果作为副产品的一种决定方法，用于直觉命题逻辑。 另一个推论是一个句法的一致性证明：如果可以证明矛盾，任何任何东西都是可证明的，但是一个原子配方，说，没有证据：如果它有一个证据，它有一个正常的证明，但没有电子规则适用于原子公式，而且没有我 - 规则要么结束。

Gentzen的想法是通过增加与完全诱导原则对应的规则来扩展到算术系统的自然扣除。 然后从派生的标准化和子宫拟财产的归一化遵循一致性。 截至1933年初，绅士意识到这种证明策略不会经历：诱导规则是原理图，具有无限的情况，没有诱导归纳式的复杂性。 预先限制这些公式是不可能的，因此没有亚运属性可以容纳。 在此失败之后，Gentzen将逐字从他的早期论文手稿中取出了古典算术的翻译，并在1933年3月将其作为一篇论文提交，但在听取哥特尔的出版物后撤回了这篇论文。

Genten写道，他无法证明ND古典系统的正常化定理。 因此，他发明了他称之为序列微积分（Semenzenkalkul，字面上“序列的微积分”）并使其成为他论文的中心题目。 微积分的名称来自派生作为列表的派生假设的表示。 作为名词的“序列”一词是Kleene在他对Metamathematics的介绍中的建议（1952：441），以纯粹发明的单词的形式占用了许多语言。

顺序微积分，SC短，可以被视为自然扣除中衍生性关系的正式表示。 该搜索由公式的列表γ组成，箭头（在entzen中，后来也使用了其他标记），以及一个公式作为结论。 该列表给出了假设，结论取决于派生，在局部符号中，其中在派生树的叶子中找到它们。 Gentzen还广泛的顺序，使它们具有，而不是一个结论，而不是一个结论，箭头后可能的情况列表。 这种新奇导致了古典逻辑证明系统的首次令人满意的制定。 Gentzen的SC规则是结合和含义的规则是，逗号分离列表中的元素：

结合

γ→δ，γ→δ，b R＆

γ→δ，a＆b

A，γ→δ。L＆1

A＆B，γ→δ

B，γ→δ。L＆2

A＆B，γ→δ

含义

A，γ→δ，b。r⊃

γ→δ，a⊃

γ→θ，a b，δ→λl⊃

a≠b，γ，δ→θ，λ

这不是解释ND和SC的细节的地方（但看到自动推理的条目）。 Gentzen配制后者，表示LK，使其给出了直觉的微积分，表示LJ，作为一个特殊情况，结论是最多一种情况下的列表。 然后，他证明了古典微积分的标准化定理的模拟，微积分和验证仔细配制，使得直觉微积分的结果是一种特殊的案例，是古典微积分的特殊情况。 在LJ和LK，L代表“Logistic”，一个绅士是指Frege，Russell和Hilbert和伯尼亚逻辑的公理计算。 在这种结石中，衍生中的每条线本身都是正确的，即逻辑真理，术语。 字母K和J来自德语单词Klassisch和IntuitionStisch。 （后者应该是大写的“I”，但旧的德国使用大写“J”进行大写“I”。）

绅士称为正常化的正常化，由Hauptsatz的绒毛，“主要定理”。 今天的标准术语是“削减定理”，SC的所有逻辑规则都有在非常直接的意义上的亚运属性：在前列的每个配方是结论中的公式或亚制剂。 结合导出的规则，类似于上面关于ND中的绕行转换的情况的规则被称为“切割”。 在它中，公式A将作为第一个前提和作为第二个前提的假设出现。 在结论中，该公式消失了，其中两个预留的假设在一起：

γ→A，δ→C。切割

γ，δ→C

因此，切割是在推导中使公式“消失”的唯一规则。 绅士表明，通过向上置换它们直到达到衍生开始的点，可以从衍生中消除切割规则的情况。 在ND中，起始点是假设的假设，它们是形式A→A的“初始顺序”，其中假设公式A在同一时间结束。 与一个如此的病程切割，作为一个预留等于结论的另一个前提，因此可以删除。

在消除削减证明后，Gentzen对直觉自然扣除的标准化证明没有用。 他给了他的论文的第一个手写版本，具有规范化的详细证明（相当于大约13页）到伯尼，但后者似乎永远不会意识到他手中的东西。 在苏黎世伯尼亚伯尼亚伯尼亚论文中，目前的作者于2005年2月发现了证据，现在可以用英文翻译（Gentzen 1933 [2008]）。

5.算术和分析的一致性

在他对纯粹逻辑的ND和SC的论文工作之后，Gentzen继续证明算术一致性的计划。 结果在1934年12月准备好了。这是一个非常先证明的证据是什么。 然而，1938年的伯尼亚致伯尼耶的信表明，格雷滕在1935年夏天写下的证据不是这个原来的证据，而是第二证据（见Menzler-Trott 2001,79）。 这一证据是由伯尼斯和哥德尔批评的，在1935年9月的大西洋航行期间讨论了它。绅士在证据中的想法如下：首先，采用自然扣除的结合否定通用量化片段算术形式化中使用的逻辑。 然后编写每个规则实例，以使前置和结论具有左侧列出的开放假设，箭头分离结论，因此，作为顺序。 这种ND的变体现在在SC样式中被称为ND。 考虑Sequentγ→C.如果其结论是原子公式，则它是数字之间的等式。 在最坏的情况下，它是假的，所以然后考虑假设列表。 如果一个假设是一个结合，请通过一个普遍定量的选择，通过Connuction替换它，如果是一个例子，请通过实例来替换。 如果它是否定，请通过A替换结论。如果在这种“还原过程”的任何阶段，搜索的结论是复合公式，您必须考虑任何与普遍定量的同步或任何实例作为可能的结论。 在否定作为结论的情况下，将A转移到假设部分并将结论替换为0 = 1. Gentzen表明，通过以这种方式进行这种方式，假设所赋予的搜索可以衍生，真正的等式是结论，或者错误等式作为假设。 因此，没有衍生的顺序与所有假设为真，结论是错误的。