证明理论的发展（二）
目前尚不清楚别人的证据; 他们认为它假设直觉数学中所知为粉丝定理，但这是假的。 可以证明终止绅士的减少程序，而是通过良好成立的树木（“酒吧感应”）的归纳来证明终止，这是绅士上直观的原则。 无论如何，批评的结果是，Gentzen没有进一步改变了一个第三个证据，它使用现在名的Transfinite诱导原则达到第一个epsilon数。 通过使用十进制数的编码来提出这种诱导。 1936年出版的Gentzen纸张变化的具体结果并不好，但是：逻辑模沟在七十奇页面中的中途变为很难阅读。 因此，Gentzen又好了另一个，通过本发明的第四次算法的第四次证明，1938年的算术一致性（Eth苏黎世的伯尼亚档案），这次基于1933年的典型搜索结石Lk。如上所述，与伯尼亚的对应表示他从1934年恢复了导致成功的证据方法。通过序数符号在1938纸上清楚地看到经细灌注诱导。 在希尔伯特1925年“Überdasunendliche”（“无限”，1926年出版的“Infinite”）中详细讨论了Cantor的“二号课程”的这种归纳原则，提到了这篇文章。
一个人会想到这就是那就是这样，Gentzen有理由在1943年发表的最后一篇文章中产生了算法一致性的第四个证明，但在1939年战争之前写的。他通过Transfinite Ordinals扩展了Peano算术并制定了这种延长微积分的经细菌诱导原理部分。 然后，他直接显示了第一epsilon-numbumε0的Transfinite诱导是表示的，但在系统中不可提供。 因此，吉尔的不完备定理是以完全不同的方式证明的。 证据的概念是简要的，如下：首先，它奠定了导致经细分诱导到系统中特定序数的意义。 其次，ε0以下的序数与导出相关联。 这些称为“值”。 然后表明，如果可以衍生的Transfinite感应到序数，则该序数不能大于推导的值。 因此，不衍生ε0的经细细胞诱导。
由于诱导原理可以表达但不能在普通算术中证明，发现PEANO算术中无法实现的公式。 Gentzen的不完整性定理的简单后果是Peano算术的一致性，因为任何内容都将在不一致的系统中得到可证明的。 与Gödel的“人工”无法通过编码获得算术可加工谓词而获得的“人为”无法动产，GenteN的Transfinite诱导原则是“普通”数学的原则。
Gentzen最后的证据确定了Peano算术的“证明理论序”，即所需的一致性，属性不太足够。 工作标志着序数证明理论的开始。 毫无疑问，哥德尔的不完整定理后，算术中最令人瞩目的基本成就，但仍然很大程度上是未知的 - 可以找到许多关于哥特的定理书，甚至没有提到绅士。
似乎没有想到通过使用非合法但仍然建设性原则给予算术的一致性证据。 在三十年代末期，至少从1938年开始，他开发了对绅士证明他自己对直觉逻辑和算术的特殊解释的回应，所谓的代表解释。 它使用可计算功能来解释直觉算法的证明。 哥德尔仅在1958年发布了解释，即使他在1941年讲课。如果他于1939年12月在遇到了格雷肯时，他还是未知的。
应伯尼的要求，阿克曼在1940年的希尔伯特的epsilon - 微积分方面复制了Gentzen的证据.Ackermann的论文是KReisel 1951年“No-Connereerexample”解释的起点算术。 当哥特尔的收集文件发表于1938年在维也纳发出“Zilsel-讲座”时，这是一个令人惊讶的是，他在那里概述了这种解释作为绅士的1935年证据的重新制作。 （此事在Tait（2005）中详细讨论了，他本人在20世纪60年代致力于No-Condereerexample解释及其扩展分析。）
证据理论中的下一个明显的任务，在算术一致性证明之后，是为了证明分析的一致性，即实际数字的理论。 绅士在这方面做了一些工作，但随后被分配到1939年秋天的军事服务。（他观察并报告了飞行于不伦瑞克镇的飞机的类型，数量和方向，直到1942年初受到紧张的细分。）1943年，他恢复了分析的工作，但主题内在的困难是巨大的，这是战争造成的实际困难。 分析将被制定为二阶算法的系统，这意味着量化通过数量定理谓词或等效地延长了一组自然数。 二阶号理论用于Gentzen的最后一篇论文，于1943年发布，其中简要介绍，在二阶数理论中可以衍生经菲丁特诱导的原理。
超过半个世纪已经通过了完整二阶算术的一致性的建设性证据。 该领域的早期先驱包括KurtSchütte和盖希·伯特提。 前者在1951年创建了一个无限的序列演算，以呈现出呈现的一致性证据，后者代替使用更传统的绅士式的微积分（参见Takeruti 1987）。
在目前在二阶算术的证明理论中的研究中，一项研究称为二阶算法的子系统。 今天的最强大的结果是在一个非常简短的概述中，以下内容：让X范围超过数字定理谓词。 诸如x（x）之类的公式表示x具有X表达的属性。我们现在可以使用第一和二阶逻辑来形成化合物公式，如∀x（xx∨xx）。 具有一个通用二阶数量保持的这样一个公式的自然数的集合称为π1
1
-set（在这种情况下，整个自然数）。 更一般地，理解公理是XX（XX = B（X））的形式。 如果公式B没有二阶量词，则公理会给所谓的算术理解或ACA提供。 如果B可以具有∀y∃z（x）的形式，则没有其他二阶量词，则π1的特殊情况
2
- 获得了复杂。 使用π1的二阶算法子系统的一致性证明
2
- 在20世纪90年代中期，Toshiyasu Ari和Michael Rathjen提供了复杂。 （参见rathjen 1995的这些发展）。
6.自然扣除的后期后期
当准绅士制定了他的自然扣除制度时，斯坦尼斯·贾斯沃斯基也在开发一个逻辑系统，符合假设的推理。 衍生中的配方在线性连续排列，但是1934年的Jaskowski的论文仍然是零碎的，没有实质性的诸如亚运性质。 在基本逻辑的许多教学博览会中遵循自然扣除的线性变体（有时称为“惠誉系统”）。 绅士在1936年6月之前找到了Jaskowski的作品，当时都在Münster中，并考虑了其公式的线性安排改善了“从树木形式的困扰”中的“解放”，反映了“思维的线性”（前者来自未发表的笔记，后者来自Gentzen的论文）。
自然扣除系统大部分休眠时间三十年，直到1965年的DAG Prawitz的论文，自然扣除：证明理论研究。 普拉维茨向常规化定理的命令不同于Gentzen早期论文稿件中的命令。 Prawitz为古典逻辑的自然扣除系统提供了一个归一化定理和子宫财产。 此系统不包含脱位或存在。 在第二阶段，他考虑了直观的自然扣除了谓词逻辑的全语言，并将其归一化到透视典型逻辑片段中的剥离变化删除。 当格雷滕的正常化证明于2005年来到了2005年来的时候，普拉维茨在与现在的作者谈话中，显然是绅士知道结果，因为印刷论文中的言论是如此暗示。
在20世纪60年代后期，强烈的正常化成为一个问题：普拉维茨，利用威廉·泰特和让yves Girard的以往的工作，在1971年证明了推导中的非归一性可以以任何顺序转换，并终止正常化过程和结果是一个独特的正常推导。 绅士似乎没有注意到后者，但似乎认为相反，这是由于这种财产的失败来消除连续的微积分中的切割。
在研究了强烈的正常化大约同一时间，咖喱 - 霍华德对应的召开。 咖喱在20世纪50年代后期在20世纪50年代后期的组合逻辑工作中观察到了自然扣除和功能施用中的含义消除（咖喱和Feys 1958）之间的类比。 这个想法和直觉逻辑一样古老：通过联系和Qualifiers的“BHK-解释”（对于Brouwer-Heyting-Kolmogorov），直觉逻辑表达式的主题形式如何证明那些命题：通过分开证明A和B来证明A＆B的结合A＆B，通过证明A和B中的一个来证明A和B，并且通过展示如何将任何证明转换为B的某种证明，且依据。 这些解释非常接近于自然扣除的引入规则，但它仍然不知道他们对绅士思想的影响。
1969年威廉霍华德一篇文章中咖喱霍华德对应，但仅在1980年出版，基于“交易所 - 型”原则，或在另一个术语中，在“适应套装”原则上。 一个命题被认为是它的证据。 命题的真实性对应于该集合的非空虚性。 △B的证据现在是（证明）a（证明）b和a≠b本身的功能这一功能。 因此，如果f：a≠b和a：a，则功能申请给出f（a）：b。通过Alonzo教堂的λ-微积分的功能抽象原理来捕获对应于引入含义的反向。
Curry-Howard对应的是计算机科学课程的直观自然扣除部分：它给出了直觉逻辑的计算语义，其中通过归一化来实现计算和程序的程序的执行。 暗示A≠B的证据是将类型A的数据转换为B型输出的程序.Ate A A≠B的对象（验证，功能，程序）F的构造以抽象结束。 当A类型的对象A馈送到F作为参数中时，产生的表达式不正常，但具有与介绍相对应后的表单，然后是消除。 归一化现在与程序F的执行相同。 直觉逻辑的使用并没有与数学的任何直觉哲学相关联，而是仅仅是终止计算机程序的系统保证。
7.序列微积分：后来的开发/应用程序
格子的博士论文标志着结构证明理论的诞生，与希尔伯特的旧公理证明理论形成鲜明对比。 在1944年的博士学位，在1944年的博士论文中拍摄了序列微积分系统的显着步骤。赫尔辛基的数学和哲学学生，1938年去了Göttingen研究证明理论与绅士是最接近后者的学生。 在1936年在Münster遇到了埃里诺凯加的埃里诺·凯拉似乎已经建立了联系。 后来ketonen稍后将绅士“是一个有人的同情事实的年轻人，几句话语”谁给了他对证明理论系统和结果的介绍。 ketonen的最佳发现是古典命题逻辑的顺序微积分，其逻辑规则是所有可逆的，这意味着每当一个序列的形式与逻辑规则结论匹配时，相应的前提是唯一的给定顺序和规则，也是衍生的。 反向即时（仅应用规则）。 例如，规则L＆l⊃被修改为
A，B，γ→δ。L＆
A＆B，γ→δ
γ→δ，ab，γ→δl⊃
a≠b，γ→δ
只有一个左侧规则有一个结合（并且只需一个正确的差分规则）。 左侧含义规则具有所谓的“共享上下文”：结论中的假设和案例除了与结缔组的公式之外，在两个终端中相同地重复。 ketonen的想法是定义一个证据搜索系统：一个从给定的搜索结果开始派生，选择其中的公式，并写出可以结论给定的调整的规则的前提。 通过可逆性，终端的问题是在更简单的顺序上取代的一个或两个等效问题。 需要新规则来确保在此类“root-first”分解中唯一定义的终定义。
威龙的可靠证明他的逻辑微积分的逻辑规则使用了切割结构规则。 后来KurtSchütte（1950）和Haskell Curry（1963）获得了直接可逆性的证据，后者具有明确的结果，即反转是高度保存：如果给定的搜索遍在最多n个步骤中，则在可以得出结论的规则中，该顺序也具有最多的衍生步骤。
九仁的工作源于绅士的建议，仍然未知，因为没有发现任何通信。 ketonen在他论文的前言写了“博士” G.Göttingen的Grzen指示我走向这项工作的问题领域“。 论文是Ketonen在逻辑中的唯一原创作品，从遗忘中拯救了一段很长的审查，即1945年的象征逻辑杂志写的伯尼。
在20世纪40年代后期在20世纪40年代末来说，一个人在20世纪40年代末来说是Evert Beth。 当Beth后来，1955年呈现出他众所周知的Tableau微积分时，他似乎已经忘记了Tableau微积分的起源作为酮嫩之一的重新制定，而是指Kleene的影响到Metamathematics的影响1952年。Kleene从伯尼亚的审查中占据了酮宁的微积分，并且还处理了直觉的序列结石，其中可处可处于典型的微积分中的可逆性更受限制。 与Kleene的书籍，Gentzen的序列结算通常是已知和可访问的。
Kleene于20世纪50年代初期的工作也在连续的演出中开创了一个显着的发展，即“无收缩”的古典和直觉计算今天由G3C和G3i表示。 这些Calculi具有必需的原始“结构规则”的财产。 “弱化”的规则允许添加多余的病例和假设，以及“收缩”的规则如果两个出现在列表中存在一个公式的一个拷贝的删除，如
削弱收缩
γ→δ。WK
A，γ→δ
A，A，γ→δ。CTR
A，γ→δ
类似规则允许右侧的弱化和收缩，加工部分的顺序。 通过让初始顺序具有形式A，γ→Δ，代替绅士的A→A，使得弱化是可消除的规则。同样可以通过对规则的合适配方来消除收缩。 导入在root-first证明搜索中，不需要应用规则，这些规则将在前提下产生重复公式。 没有这种结果，不终止证明搜索。
经典微积分具有上述性质，其逻辑规则的高度可逆性可逆性。 Albert Dragalin在20世纪70年代后期改进了模数，其中结构规则更为“高度保存允许”，这意味着每当越来越多的这样的规则，结论是衍生的，没有规则，最多可以衍生派生的大小（规则实例中的最大规则实例数）。 这家酒店对剪切消除有深刻的影响：在依据切割时，Gentzen必须通过弱化和收缩来恢复原始上下文（γ和δ）。 随着这些规则的高度保存可否受理，当应用规则时，导出的大小不会增加。 Dragrain还给出了一种直觉的多学士模沟，具有相同类型的结构规则的可否受理。 Troelstra最后，介绍了教科书基本证明理论（2000，First Ed.1996）一种单一成功的直觉模次，具有高度保存的弱化和收缩的可接受性。 不收缩的搜索结石是用于分析正式推导的强大工具。 许多困难的研究导致逻辑的结果成为通过控制G3-Calculi许可证的证据结构来练习。
在数学中最早应用的顺序微积分在算术的证明理论中，在格雷斯滕的论文中，并在1938年的算术一致性证明的决定性之中。 Troelstra提到ketonen的工作
用公理的绅士计算中的削减措施的早期分析; 但他认为在衍生的循环中存在公理的纯微积分中的纯微积分中的切屑衍生形式。 （Troelstra和Schwichtenberg 2000：142）
Ketonen认为是投影和仿射几何形状的公理，前者从上述第一部分讨论的Skolem 1920纸中取代。 Ketonen希望在序列微积分中制定Skolem的正式证明规则。 但是，威龙的工作大多通过跨国公司的审查而闻名，并且仅在那里详细解释了搜索结石上的逻辑部分。
应用程序的第二种方法是为了让开始推导分支的顺序除了初始顺序之外，还具有初始顺序的形式→A，其中A是公理的形式→A，或者是通用公理的实例。 现在，通过Gentzen的“扩展Hauptsatz”，可以置于派生中的削减，直到其前提是一个公理，但这些在公理上仍然存在。 另一种方法是将公理转换为额外的规则，该规则被添加到逻辑微积分的逻辑规则中，并保持完全削减消除（如Negri和Von Plato 2001，第6章和Troelstra和Schwichtenberg 2000中所述，第4.7章）。
8.证明理论的目标
证据理论在多大程度上取得了原始目标？ 对于希尔伯特来说，目的是通过一致性的有限证明等，完全澄清，旨在证明理论失败的目标。 他的计划中的希尔伯特对自己的数学证据的研究并不感兴趣，但只能在清除中央基础问题（然后忘记它们）。 最近发现的Hilbert的说明给出了不同的图片：注意到Hilbert希望在他着名的巴黎公开数学问题列表中添加为1900年的“数学校对方法理论”的第24个和最后一个问题。 这是在他出现证据理论的发展之前的。
对于绅士来说，目的是与希尔伯特的目标，了解数学证据的结构。 就纯粹的逻辑和算术而言，该计划是完全的成功。 尤其是允许分析具有深刻结果的证据。 校正理论的宏伟目的，据证明在希尔伯特的第二个巴黎问题中的分析一致性证据，也没有被携带，但也没有被排除在外。
对任何数学家都有一些数学家有必要对证据的概念，如果没有其他的话，那么至少对于数学结果的可通知：出版物依赖于理解，可以将证明作为常规检查正确性的证明。 然而，证明理论到目前为止没有成为工作数学家的实用工具; 数学中的应用已经是孤立的案例。 最近在用计算机化系统形式化数学证据的工作，称为证明编辑器，可能会逐步改变这张照片。
证明理论在传统数学之外创造了新的目标，特别是与计算机科学有关。 验证计算机程序的正确性诸如验证的主题是一种证明理论的生长。 自然扣除导致咖喱 - 霍华德对应，并与功能编程的连接，并且在逻辑编程中，通常用于自动证明搜索系统中的序列微积分。
