Hermann Weyl的笔记（一）
1. Husserl在Weyl的学生几天在那里哥廷根教授，Weyl参加了他的讲座。 但它是他的妻子海伦，谁更高版本来到哥廷根研究与胡塞尔，谁似乎有引发了魏尔的兴趣现象。
2.特别是，虽然有令人信服的证据表明，自我的持续存在（一个人的意识）依赖于外部世界的事实，例如，一个人的大脑的持续生化活动，不能作为自我作为主要基准作为主要基准。
作为1925年观察到的Weyl，
如果知识的洞察力被称为知识，那么理论上就是基于信念 - 对自己的现实以及他人的现实的信念，或者信仰外部世界的现实，或者对上帝的现实信仰。 如果前者的器官在最宽的意义上是“看到”，那么理论的器官是“创造力”（Weyl 1925,140）。
4.在延迟纸上，Weyl提供了“我们将物体”为“最简单的”的自然数字，“象征性建设的最简单” 他继续：
他们最自然的符号是笔画，一个放在另一个之后，|| ||，|||，......。 物体可以分散，“熔化，解冻并将自己分解成露珠”，但我们因此可以保持其数量的记录。 更重要的是，通过建设性的过程可以决定通过符号表示的两个数字，该符号是较大的，即通过检查一个符号靠在另一个符号，通过笔划冲程。 这个过程揭示了直接观察中不明显的差异，即在大多数情况下，即使在这种低数量为21和22的情况下也无法区分。我们如此熟悉这些奇迹，数字符号表现不再想知道。 但这只是数学步骤的前奏。 我们不将其留给我们实际满足的机会，通过计数这一组或该混凝土对象，但我们生成所有可能数字的打开序列，它以1（或0 = nothOln）开头，并通过增加任何数字符号N，从而将其变为以下数字n +1。 因此，在可能的可能性上，更精确地投射到可能的背景上，更精确地通过再次迭代相同的步骤并再次迭代相同的步骤并且仍然是无穷大的可能性。 （1985,12-13的Weyl。）
5.例如，与爱因斯坦不同，例如，威尔似乎并不是由量子理论的高度逆行性的特别困扰。 实际上，只有通过抽象数学描述访问量子微波炉的众多物理学家的定罪是Weyl论文的一个很好的例子，即客观现实不能直接掌握，而只是通过使用符号。
对于Weyl来说，通过象征建设建立的数学和自然科学之间的联系肯定是非常强大的，正如他在他的观察中所证明的[1985]关于G. H. Hasty的一个数学家的道歉（Hardy 1967）所证明的那样。 将其作为“迷人的小书”介绍，他继续：
对于我们今天来说，通过象征性建设举行知识秘诀的众神的想法将复活我们的哈布里斯已经采取了一个相当具体的形式。 对于谁可以闭上眼睛对自己的自我毁灭的威胁？ 令人担忧的事实是，科学知识的快速进步并不是由人类道德实力和责任的相应增长并行，这几乎没有改变历史时期。 我认为这是难以宣称数学的难以享受这方面的特殊和相对无辜的职位。 他认为，数学是一个无用的科学，这意味着，他说，它可以直接贡献我们的同胞的剥削，也不能剥夺他们的灭绝。 然而，科学的力量基于实验的组合，即在自由选择条件和象征性结构下观察，后者是其数学方面。 因此，如果科学被判有罪，数学不能逃避判决。
6.在洞察力和反思（也在数学和自然科学的哲学中）Weyl使用几何类比来说明他的形而上学方案。 在该类比中，对象，对象和对象的对象和对象的外观分别在平面中的平面（重心）坐标系上的点以及相对于这种坐标系的点的坐标。 这里，坐标系S由固定的非偏更三角形T的顶点组成; 由T确定的平面中的每个点P被分配给相对于S的总重量1的尺寸为1-其重构坐标的三倍，其表示在T的顶点处的总重量1的幅度，在p处具有重心。 因此，对象，即点和受试者即，坐标系或点数属于相同的“现实领域” 另一方面，对象的外表对象，即数字的三倍，谎言，Weyl在不同的球体中置于不同的球体中。 这些数字出现，作为Weyl调用它们，对应于主题或纯粹意识的经验。
从Naïve现实主义的角度来看，点（物品）只是存在，但Weyl表示构建几何形状（在类比下对应于外部现实）的可能性，仅在数量出现方面，因此在纯粹的经验方面代表世界。意识，即从理想主义的角度来看。 因此，假设我们被认为是一个坐标系S.被视为主题或“意识”，从它的角度来看，目的地或对象现在对应于最初是对象的外观，即数字汇总到1的三倍; 并且，类似地，任何坐标系S'（即，另一个主题或“意识”）对应于由非偏更三角形的顶点确定的三个这样的三维。 现在可以用其坐标识别每个点或对象P相对于S.相对于任何其他坐标系S'的P的坐标可以通过直接的代数变换来确定：这些坐标表示对应于所代表的对象的对应的对象的外观通过s'。 现在，这些坐标通常与我们给定的坐标系分配给P的那些，并且实际上只有在S'是由Weyl由三个三元组组成的绝对坐标系（1,0,0）组成的绝对坐标系所谓的0,1,0），（0,0,1），即，对应于S本身的坐标系。 因此，对于该坐标系，“对象”和“外观”一致，这引出了Weyl来术语它绝对I.
Weyl指出，这一论点完全在数字的领域内进行，即，为了类比，内在意识。 为了使所有“I”等同物体的客观性索赔，他建议只有这种数值关系被宣称感兴趣，因为从“绝对”到任意坐标系的通道保持不变，即不变的那些在任意线性坐标变换下。 根据Weyl的说法，“这个类比使其可以理解为什么在客观地观看时，即从不变性的角度来看，可以看出，即从不变性的角度看，这可以看起来只有一个主题。”
此时，Weyl增加了一种有趣的括号观察：
顺便提一下，当翻译成类比的背景时，许多Husserl的论文变得假，它出现在我身上，这给了他们怀疑他们的严重事业。
不幸的是，我们并不准确地告诉Husserl的论文中的哪一个是“嫌疑”。
Weyl继续强调：
超越这一点，我预计我认为我认识到另一个我 - 不仅通过观察我的思想，而不是在我的思想中观察到的不变性或客观性，但绝对是：你再次为你，我为自己而言，我是我自己的：不仅仅是现有的，而不是出现世界的现有载体。
根据Weyl的这种识别，根据Weyl，才能在其几何类比中呈现，只有在其具有纯粹的公理配方。 在采取这一步骤中，除了现实主义和理想主义之外，我们还会出现第三种观点，即“假设超然现实，但在符号中建模它的超越”，这是一个超越的超凡主义。“
7.其他条件是：理解和表达; 思考可能; 最后，在科学中，符号或测量装置的建造。
8.另见下面的Weyl和Hilbert部分。
9.从他（1985年）中，它也值得引用Weyl的最后一次，苦乐参见数学的观察：
数学被称为无限的科学。 实际上，数学家还吸引了有限的建筑，通过他们的本性指的是疑问的问题，请参阅无限。 那是他的荣耀。 Kierkegaard曾经说过宗教对人无条件的涉及什么。 相比之下（但具有平等夸张）可以说数学涉及根本不担心的事情。 数学具有不人道的星光品质，辉煌，锐利，但冷。 但是，男人的思想似乎是一个讽刺的创造，即人的思想都知道如何处理事情，越衰落的东西越好，他们来自他存在的中心。 因此，我们最聪明的是最重要的。
然而，Weyl似乎最初被吸引到了理论 - 至少在1908年为其提供的公理制剂Zermelo中。正如Feferman的强调[2000]，Weyl [1910]预期Fraenkel和Skolem后来鉴定了Zermelo的“明确的财产”，“物业可定义在集合理论中”。
11.在这方面，Weyl的观点与Poincaré的观点接近，并且在某种程度上，罗素的观点也在某种程度上。
12.在这方面，有意义的是，1918年2月9日威尔·佩吉·佩利亚在苏黎世在苏黎世举行了12个见证人（所有人都是数学家）的赌注，这是“20年内，Pólya或者大多数主要的数学家，将认识到最不上限财产的虚假性。” 当赌注最终被称为时，每个人都与哥德尔的单一例外情况一致，同意Pólya赢了。
13.与许多数学家分享的Weyl，这是自然数的概念是数学的概念。 例如，在[1921]中，我们阅读：
数学的起点是自然数的序列，即法律......从中没有生成第一个数字，并且从每个生成的数字都会生成下一篇内部; 从未恢复到已发生的数字的过程。 如果我们想为我们的直觉捕获数字，我们必须通过定性标志象征性地区分它们...... 人们可以说，在现实的数学检查中，尝试代表世界 - 这是在其更一般的形式的渗透和本质（“这个”和“所以”）中赋予意识的意识 - 在纯粹存在的绝对。 这就是为什么在毕达哥拉斯主义中有一个深刻的事实，任何那样的是基于数字。
14.有价值的是，布伦塔诺在他对1914年的不断持续的情况下，已经绘制了类似的结论，即连续概念来自原始明智的直觉，事实上，“我们所有的明智的直觉就是我们连续的。” 这使他认为Depekind，Cantor和他们的继任者的连续性的建设视为“小说”。
15.数学和物理学之间的联系当然是对Weyl最重要的重要性。 他对相对论理论，时空问题的开创性工作，在同一年（1918年）发表为DAS Kontinuum; 两种作品揭示了微妙的亲和力。
这一事实似乎表明，在Weyl的理论中，函数的定义域不是明确地由该函数确定的，使得这种“函数”的连续性可以随着其定义域而变化。 （这将是Weyl对功能的定义作为某种关系的自然结果。）通过在每个Rational数和每个非理性数处的函数F在经典分析中提供了这种现象的简单但醒目的例子。 被认为是在合理数字上定义的函数，f是恒定的，连续; 作为在实数上定义的函数，f无法在任何地方连续。
17.例如 在Weyl [1950]，8和[1949]，123
18.然而，Weyl和Brouwer哲学态度之间存在明显的差异。 Brouwer的哲学几乎达到了唯一的唯一唯一的唯一唯一的唯一唯一才能削弱到现象学，至少高达1928年。从Weyl揭示了他后来的哲学发展中，很明显它甚至让他进一步离开brouwer。 （用于分析Weyl思想中的直觉和现象学之间的关系，见Mancosu和Ryckman [2002]。）
19.然而，有理由认为Weyl继续将Das Kontinuum潜在的预测方法视为真正的价值。 如果确实如此是这种情况，那么Weyl的信念是正确的，因为DAS Kontinuum现在被视为近代数学的出现中的初始阶段，因为自20世纪60年代以来经历了快速发展（见Feferman [1988]，[2000]）。
20. Weyl的争论非常类似于（并且可能对）希尔伯特后来的断言，即“内容”陈述是从精神派观点来看，无法否定。 参见，例如，希尔伯特[1926]，378。
21.对于我对Weyl的与直觉关系的讲话，我已经在照明纸Van Dalen绘制[1995]。
22.以下是1921年关于该问题的Weyl扩大：
...如果我们挑出一个特定点，例如，在数字线C（即，在真实变量x的可变范围）上，可以在任何情况下，一个不能在任何情况下声称与它一致或与之脱节时的一个人。 因此，点X = 0根本完全不会将连续体C分成两个部分C-：X <0和C +：x> 0，从此C将由C-，C +和1点0的联合组成。 如果这对现今的数学家冒犯了他们的原子的思想习惯，它是在较早的时候由每个人持有的自我明确的观点：在连续之内，通过引入界限，可以很好地产生亚道尼 然而，声称总连续体是由边界和亚平原组成的，这是不合理的。 重点是，真正的连续体是自身连接的东西，它不能分为单独的碎片; 这种与其性质的冲突。 （Weyl 1921,111。）
23. Brouwer于1904年建立了在连续体上完全定义的函数的连续性，但直到1927年就没有发布了最终账户。在该帐户中，他还考虑了部分定义了职能的可能性。
24.在Reid [1986]，72.在哥廷根的希尔伯特的坟墓上铭刻：WirdmüsenWissen/ Wirden Wissen（“我们必须知道/我们应该知道”）（同上，220.）
25. 1922年，希尔伯特宣布：
在克朗克德的脚步声中，韦斯和布鲁瓦的搞定了！ 他们试图通过扔掉船尾的所有是麻烦的东西来拯救数学......他们会破碎和梳理科学。 如果我们遵循这种改革，就像他们建议的那样，我们就会冒着失去大量宝藏的大部分的风险！ （Reid 1986,155）。
我相信，只有当克朗克人无法摆脱非理性的数字......只要伟大的Weyl和Brouwer就可以成功。 Brouwer并不是，因为Weyl认为，只有革命的重复，在其一天，更加尖锐地进行了更加尖锐的，但现在，与国家武装并加强，从一开始就注定了！ （同上，157。）
26.希尔伯特计划的这个方面，它的领导，略微不恰当地，它被称为“形式主义”。 应该强调的是，希尔伯特并未声称（古典）数学本身毫无意义，只有代表它的正式制度就是如此。
27.这是由Hilbert的以下报价承载的[1927]：
没有任何其他科学可以单独地在逻辑上建立数学; 相反，作为利用逻辑推论的条件和逻辑运营的表现，必须在我们的代表能力中向我们提供某些内容，这些物体直观地在所有思想之前直接存在。 如果逻辑推断是可靠的，则必须在所有部分中完全调查这些物体，以及它们发生的事实，它们彼此不同，并且它们互相遵守，或者被连接，立即直观地与物体直观地给出，作为既不能够减少到其他任何东西，也不需要减少。 这是我认为是数学的基本哲学立场，一般地为所有科学思维，理解和沟通。 在数学中，特别是，我们认为的是具体迹象本身，其形状根据我们采用的概念，立即清晰可识别。 这是必须预设的最少的，没有科学的思想家可以分配它，因此每个人都必须自觉，有意识地保持。
28.当然，此保证是进一步假设，即没有“自然界矛盾”。
29. Weyl [1927]，483.事实上，在他的[1946]中，Weyl备注在1931年没有参加Gödel的示威认为，希尔伯特的计划无法成功开展，“数学家可能会有接受希尔伯特的方法。”
30. Weyl [1925]，140. Weyl [1949]含有类似的观察：
应符合物理学，作为一个现实世界的建设的分支，真正逼真的数学，并且应该采用与物理学展出的基础的假设扩展相同的清醒和谨慎态度。（231）。
31. Weyl [1927]，484.甘蔗和Ryckman（2002）表明Weyl已经开始从直觉中撤退，因为他认为是它的支持自然科学，特别是理论物理对他至关重要。
32. Weyl也观察到（同上，61）：
但是，无论希尔伯特计划的最终价值如何，他的大胆企业可以申请一个优点：它已经向我们披露了数学的高度复杂和痒的逻辑结构，它的背连接迷宫，这导致了它不能在第一个圈子收集的圆圈瞥一眼他们是否可能不会导致公然矛盾。
33.如果一个人对N维里莫曼空间的整个延伸感兴趣，那么需要有限或无限数量的部分重叠坐标贴片，以整体覆盖N维riemannian歧管。 然而，如果重点是在无限的积分街区，这一点令人担忧。
34.爱因斯坦总结公约说：每当较低（上）指数被重复为上部（下）指数时，应理解暗示从1到n的指数上的求和，歧管或空间的尺寸。 据说等式（1）和（2）中的指数k是自由的，在当前上下文中，从1到N的任何值接受任何值。 重复索引I和J是绑定或虚拟指标，因为它们可以被尚未使用的任何其他索引替换为绑定索引。
35.“近距离”的德语术语是'nahewirkung'。
36.关于Weyl的“社区”（Umgebung）的概念和他在数学，物理学和主体间歇性的讨论中进行了详细分析，持续离散的区别，见Sieroka（2010年，2019年）。
37.法拉第互动模型中的电动作用不被视为达到两种带电粒子的有限空间分离的方式。 相反，人们理解互动作为带电体系与周围场之间的无限相互作用。 带电的身体“感觉”是一种力，因为它与周围的田间接触; 也就是说，每个带电的身体“感觉”作为当地力量的另一个领域。 就像法拉第的实地对电力现象的解释一样，可能与距离距离解释形成对比，所以黎曼的无限几何观点可能与距离 - 几何形状形成对比，例如欧几里德和普通非-euclidean几何形状。
Hermann Von Helmholtz考虑了刚性身体运动的自由流动所需的均匀性假设，这是几何知识的可能性的必要性预定条件。 从我们的刚体运动的经验中抽象出来，Helmholtz能够数学上得出黎曼的距离公式（2）。 欧几里德和普通非欧几里德几何形状“大”之间的差异仅在丢弃并行性的原理中。 通过要求均匀性假设理想刚体的自由流动性，从而限制了他对欧几里德和普通非欧几里德几何形状的考虑。
Riemann认为Helmholtz的同质性假设刚体运动，而欧几里德和普通的非欧几里德几何形状可能不会严格阻止但只有大约。 具有卓越的远见，Riemann认为刚体运动可能会破裂的可能性，并且从更一般的基础上接近物理几何形状的问题，包括欧几里德和普通的非欧几里德几何形状作为限制情况。 实际上，从现代物理学的角度来看，刚体和刚性身体运动的存在不再是一个基本的不言而喻的要求，但只有一个特殊的财产，可以在经典力学和几何形状的物理学的明确限制案例中获得。 Helmholtz的推理仅表明，这一限制案例的可能性需要riemananian度量。 Riemann在几何中采用了与Faraday和Maxwell在他身上的相同原则，即在电磁场中，即在无限较小的行为中理解世界。 因此，RIEMANN引入了几何形状的几何领域的概念，并预示着动力学几何形状的可能性，这不仅可以根据物质作用而行动。 参见Scholz（1992）关于Riemann对新方法的愿景。
38.具有公制张量的任何矢量空间都具有正常的基础，其中度量标准具有规范形式
诊断（-1，...，-1,1，...，1）。
这些对角线元素的总和，即规范形式的轨迹称为度量标准的签名。 如果度量标准是正定的，则其规范形式是诊断（1,1，...，1）。 不是正定的度量，被称为无限期。 爱因斯坦特殊相对论理论的度量是无限的，并且分别具有分别对应于规范形式诊断（-1,1,1,1）或诊断（-1，-1，-1,1）的迹线的特征+2或-2。 正定的指标称为riemannian，而相对论理论的无限度量称为Lorentzian或伪riemananian。
（本章完）
